Hyperplan

NicoLeProf · January 2023

Amédé a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333056/hyperplan#latest

Effectivement, pas évident je trouve. Avec beaucoup d'huile de coude, voici ce que je trouve (j'ai appliqué la méthode du pivot de Gauss après avoir beaucoup tourné en rond puis j'ai "remonté" l'algorithme) :

pour $\theta \neq 0 [2 \pi]$ et $\theta \neq \pi [2 \pi]$ , $R=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}=T_{1,2} \left(\dfrac{\cos \theta -1 }{\sin \theta} \right).T_{2,1}(\sin \theta).T_{1,2} \left(\dfrac{\cos \theta -1 }{\sin \theta} \right)$

Pour $\theta = 0 [2 \pi]$, $R=I_2$ et pour $\theta = \pi [2\pi]$, $R=-I_2$ .

OShine · January 2023

Ok merci c'est plus clair et la partie verte ?

JLapin · January 2023

NicoLeProf a dit :

Effectivement, pas évident je trouve.

Une fois intégré que la méthode du pivot de Gauss se traduit par des multiplications à gauche ou à droite par des matrices d'opérations élémentaires, le problème posé est au contraire assez algorithmique, donc plutôt dans la catégorie des problèmes évidents car ne demandant pas d'imagination particulière, seulement de suivre bêtement la méthode du pivot.

Tu peux essayer avec n'importe quelle matrice de $M_2(R)$ ou $M_3(R)$ de déterminant $1$.

NicoLeProf · January 2023

Oui au final JLapin, je suis d'accord, il faut juste avoir fait le lien avec la méthode du pivot : ce que j'ai fait après en me renseignant un peu (en relisant quelques passages du cours, c'est d'ailleurs de cette manière apparemment que l'on prouve que $SL_n(\mathbb{K})$ est engendré par les transvections. La rédaction n'a pas l'air commode par contre hahaha

).

NicoLeProf · January 2023

Dans le cas général pour une matrice $A=\begin{pmatrix} a &b \\\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{K})$, on a : $A=T_{1,2} \left (\dfrac{a-1}{c} \right) . T_{2,1}(c) . T_{1,2} \left (\dfrac{d-1}{c} \right)$ pour $c \neq 0$ .

Si $c=0$, on a : $a \neq 0$ (sinon, la matrice $A$ ne serait pas de déterminant $1$) et on obtient : $A=D_1(a) . D_2(d) . T_{1,2} \left (\dfrac{b}{a} \right) $ où $D_i(n)$ est une matrice de dilatation (ayant que des $1$ sur la diagonale sauf le coefficient $(i,i)$ qui vaut $n$) .

Donc $A=T_{1,1}(a-1) . T_{2,2}(d-1) . T_{1,2} \left (\dfrac{b}{a} \right) $ lorsque $c=0$ .

Donc l'algorithme dans le cas des matrices de $SL_2(\mathbb{K})$ est très simple : on effectue l'opération permettant d'obtenir $1$ au coefficient $(1,1)$ puis on effectue l'opération qui nous permet d'obtenir $1$ au coefficient $(2,2)$ . On obtient une matrice de transvection à la fin.

On remonte les calculs et on a la décomposition de n'importe quelle matrice de $SL_2(\mathbb{K})$ .

C'est drôle d'avoir $T_{1,2}$ qui apparaît deux fois. Les maths sont vraiment très plaisantes décidément !!! ^-^'

bisam · January 2023

@OShine : La partie verte, c'est la partie commune à l'usine de départ et à son image par la transvection. En effet, par synthèse soustractive, vert = jaune+bleu.

stfj · January 2023

@OShine : "Ok merci c'est plus clair et la partie verte ? "
Vous vous moquez. À l'avenir, en ce qui me concerne, aide-toi, le ciel t'aidera. Je ne sais pas de quel jeu il s'agit (Oui-Oui passe le concours de l'ENSAE ?) mais je n'ai pas envie d'y jouer. Cordialement.

Amédé · January 2023

@JLapin @NicoLeProf : en effet c'est un exercice pour voir si on sait mettre en place le pivot de Gauss. Rien de plus. C'était plus pour @OShine. Si il tombe un jour sur la leçon sur le groupe linéaire. Il vont lui demander et même il vont demander l'effet d'une transvection sur un vecteur dans le plan.

OShine · January 2023

stfj a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2405023/#Comment_2405023

[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Un dessin doit avoir une légende je suis sérieux.

OShine · January 2023

@Amédé
Tu aurais pu donner un indice comme l'a expliqué @JLapin.
@bisam
Ok merci.

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