i-ème itérée

Lolo36 · January 2023

Bonjour,

Soit $i<j$ dans $\mathbb{N}$. $f^i$ désigne la $i$-ème composée de $f$ par elle-même. Je suis au milieu d'un raisonnement par l'absurde. A-t-on $f^i=f^i \circ f^{j-i}\implies f^{j-i}=\text{Id}$ ? Merci.

JLapin · January 2023

Oui si $f$ est injective (par exemple).

AD · January 2023

Ben non, si $i=1$ et $j=2$, alors $f=f\circ f=f^2$, donc $f$ est un projecteur, a priori non l'identité.

Alain

Lolo36 · January 2023

Ok je n'ai pas encore vu les projecteurs, mais $f$ est une fonction de la variable réelle à valeurs réelles.

Math Coss · January 2023

Contre-exemple simple : $f$ est constante.

Lolo36 · January 2023

ok merci

gerard0 · January 2023

Un autre contre-exemple, avec $f$ injective (désolé JLapin, ça ne suffit pas) de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ :

$f: x\mapsto -x$.

Comme $f^2=Id_{\mathbb R},\ f^4 = f^2 \circ f^{4-2}$.

Cordialement.

Bibix · January 2023

Ben si, ça suffit vu qu'on demande seulement $f^{j-i} = Id_{\mathbb{R}}$. On peut même juste supposer que $f^i$ est injective.

gerard0 · January 2023

Ah oui, mon contre-exemple n'en est pas un !!

JLapin · January 2023

Lolo36 a dit :

mais $f$ est une fonction de la variable réelle à valeurs réelles.

Si ce n'est pas un problème interminable, pourrait-on avoir un énoncé complet ?

[Et quantifié. AD]

Lolo36 · January 2023

Ok je vous l'envoie, il s'agit de la question 3b en bas. La réponse est certainement simple mais j'avais posé cette question car je suis parti sur un raisonnement par l'absurde. Si ca impliquait que $f^{j-i}=id$ alors on aurait $i=j$ ce qui est absurde puisque $i<j$.