Filtration d'un processus arrêté

En fait, je pense que mon intuition était bonne en dimension supérieure d'indexation, mais en relisant je ne pense pas que c'était la question. En fait, on a $\mathcal{F}_{\tau} = \sigma(X_{\tau \wedge n}, n \geq 0)$ si $X$ est un processus indexé par $\mathbb{N}$ et $\tau$ est un temps d'arrêt fini. On peut le prouver par récurrence avec l'hypothèse $P(k) : "\forall A \in \mathcal{F}_{\tau}, A \cap \{\tau = k\} \in \sigma(X_{\tau \wedge n}, n \geq 0)$. En effet, $P(0)$ est trivial car $\sigma(X_0) = \sigma(X_{0 \wedge \tau})$ et pour $k \geq 0$, en supposant $P(i)$ pour tout $i \leqslant k$, on a pour tout $A \in \mathcal{F}_{\tau}$, $A \cap \{\tau = k+1\} \in \mathcal{F}_{k+1} = \sigma(X_0, ..., X_{k+1})$ donc avec le lemme de factorisation de Doob, on a $f : X_0(\Omega) \times ... \times X_{k+1}(\Omega) \to \mathbb{R}$ mesurable telle que $\mathbb{1}_{A \cap \{\tau = k+1\}} = f(X_0, X_1,...,X_{k+1})$. Ainsi, $\mathbb{1}_{A \cap \{\tau = k+1\}} = f(X_0, X_1,...,X_{k+1})\mathbb{1}_{\{\tau \geqslant k+1\}} = f(X_{0\wedge\tau}, X_{1\wedge\tau},...,X_{(k+1)\wedge\tau}) \mathbb{1}_{\{\tau \geqslant k+1\}}$. Or $\{\tau \geqslant k+1\} = \Omega \setminus \{\tau \leqslant k\} \in \sigma(X_{\tau \wedge n}, n \geq 0)$ d'après l'hypothèse de récurrence. Donc $P(k+1)$ est vraie. On en déduit que pour tout $A \in \mathcal{F}_{\tau}$, $A = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A \cap \{T = k\} \in \sigma(X_{\tau \wedge n}, n \geq 0)$, ce qui montre $\mathcal{F}_{\tau} \subset \sigma(X_{\tau \wedge n}, n \geq 0)$. L'autre sens est trivial.