Quels livres pour aborder les espaces vectoriels
Titre initial "quels livres qui expliquent bien et qui soient très complets pour aborder les espaces vectoriels"
[Le titre doit être informatif mais court. Le corps du message est là pour les développements. AD]
Bonjour,
j'aborde les espaces vectoriels en autodidacte, j'ai un niveau bac C 1992 mention Bien ;
j'aimerais savoir quels sont les meilleurs livres pour comprendre les espaces vectoriels ;
si possible non seulement pour bien comprendre avec de grandes explications, mais aussi un livre très complet avec beaucoup d'exemples et toutes les démonstrations.
j'aborde les espaces vectoriels en autodidacte, j'ai un niveau bac C 1992 mention Bien ;
j'aimerais savoir quels sont les meilleurs livres pour comprendre les espaces vectoriels ;
si possible non seulement pour bien comprendre avec de grandes explications, mais aussi un livre très complet avec beaucoup d'exemples et toutes les démonstrations.
Par exemple dans l'Escofier "Toute l'algèbre de la licence" il oublie de dire que tout sous-espace vectoriel de E est un espace vectoriel sur K... , oublie fâcheux pour savoir à quoi servent les sous-espaces... Dans le livre "Algèbre cours de mathématiques 1er année" de Exo 7 lié à l'université de Lille quand ils définissent les sous-espaces vectoriels, ils disent simplement qu'il suffit de prouver que F est non vide, alors ils oublient de démontrer ceci par le fait que si x appartient à F, on a 0 = 0 . x + 0 x appartient à F...
Merci de vos recommandations de livres !!
Réponses
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Une référence très accessible et approuvée par des générations d'étudiants est Algèbre linéaire de Joseph Grifone, qui en est à sa 6ème édition.
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Lelong-Ferrand Arnaudies tome 1 algèbre
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Bonjour,
j'aime les deux livres de Jacques Dixmier, cours de maths de premier cycle 1ère et 2ème année : -
Matrices, géométrie, Algèbre linéaire de P. Gabriel, chez Cassini : très progressif, et même à contre-courant des habitudes françaises (son cours part du très concret pour aboutir à l'abstraction).
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Je suis étonné qu'on puisse encore trouver le Matrices, géométrie, Algèbre linéaire de P. Gabriel neuf sur le net
pour un prix correct 45 euros. -
franck63 : bonsoir. Ne pas oublier ce nouveau-né chez la famille Calvage et Mounet, maison d'édition sérieuse. Je ne le possède pas, mais la table des matières laisse supposer que l'on a affaire à un bon livre, surtout pour un autodidacte. A suivre...
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Je plussoie pour le Dixmier. Le livre est tellement bon que quand je l'ai prêté il n'est jamais revenu !
Cordialement. -
OShine : c'est vrai ! J'ai indiqué ce livre (sorti en 2001) mais sa disponibilité en neuf est une autre question ; il doit se trouver dans toute les BU, en revanche.
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@Thierry Poma : Je suis surpris de te voir recommander ce livre. En effet, l'auteur s'appuie sur la théorie anthropologique du didactique de Chevallard pour construire son écrit.
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@Cyrano : bonjour. Où as-tu lu que l'auteur s'appuie sur les travaux de Chevallard ? Veux-tu m'en dire plus, s'il te plait ? Je ne possède pas ce livre et ne pense pas l'acheter.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Linear Algebra tomes 1 de Serge Lang traduit en français chez Interéditions: Lang a écrit des livres pour tous les niveaux, depuis la classe de seconde jusqu'au seuil de la recherche. Cela m'insupporte quand on ne dit pas que les éléments d'un espace vectoriel sont appelés des points ou des vecteurs, quand on oublie points... Serge Lang le dit dès le début en commençant dans $\mathbb R^2$ ou $\mathbb R^3$ ou les fonctions continues sur $[-1,1]$ avec dès la page 13, le produit scalaire de deux fonctions$$\int_{-1}^{1}f(x)g(x)dx$$Simple mais efficace
... @etanche : Les Lelong-Ferrand Arnaudiès me semblent être davantage des livres du professeur que des livres destinés aux débutants. @franck63 : bonjour, tu écris "j'aimerais savoir quels sont les meilleurs livres pour comprendre les espaces vectoriels". Je vois que ce que tu veux dire mais au cas où : rappelons qu'il n'y a rien à "comprendre" concernant les espaces vectoriels, juste connaître les axiomes. C'est ce qu'on appelle une structure. En elle-même la notion abstraite n'a aucun intérêt : comme tu le dis très justement, ce sont les nombreux exemples d'espaces vectoriels concrets qui sont intéressants. Et il faut commencer par les espaces vectoriels réels de dimension 2 ou 3, comme $\mathbb R^2$ ou $\mathbb R^3$, ie "le plan" et l'espace", que tu as étudié depuis la 6è au moins jusqu'en TC. D'illustres mathématiciens ont cantonné une bonne partie de leurs travaux aux dimensions 2 ou 3.
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Justement, les éléments d'un espace vectoriel sont des vecteurs, pas des points. On parle de points dans les espaces affines.
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Lang parle de points à propos des éléments d'un espace vectoriel; Dieudonné parle de points à propos des éléments d'un espace vectoriel. De toute façon, on appelle les éléments d'un espace vectoriel comme on veut, des choux-fleurs, des bocks de bière(Hilbert) si ça nous chante, n'est-ce pas ?
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Un livre de 2001 le Dixmier mais il est encore disponible dans les librairies neuf, c'est fou. Il est disponible à 51 euros. Il en vaut vraiment la peine ?
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Histoire de me mettre à jour au cas où cela tombe à la grègue que je ne passerai pas cette année :
-> c'est quoi les axiomes que vérifie un espace vectoriel ?Histoire de ne pas se lancer dans une dépense inutile :
-> Qui le premier a t(p)rouvé qu'un espace vectoriel (n')existe(pas) ?Merci de votre attention. -
@Poirot : ce que je veux dire, c'est qu'il n'est pas nécessaire de (1) disposer de la notion d'espace affine $\mathcal{E}$ associé à un espace vectoriel $E$, notons-le $(\mathcal{E},E,v)$; (2) développer la "théorie" des espaces affines; (3) vérifier que le triplet $(E,E,v)$ avec $v:E\times E\to E, (a,b)\mapsto b-a$ est un espace affine ;(4) appliquer enfin le travail de (2) à notre espace affine $E$ [voir le point (3)].
On peut très bien comme le font Lang et Dieudonné -c'est ce qu'on faisait en 1972 en sup et spé, voir par exemple Doneddu- définir très rapidement après avoir introduit la notion d'espace vectoriel $E$ les sous-espaces affines de $E $ comme les parties de $E$ de la forme $a+F$, où $a\in E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, le barycentre de $g$ de $(a_i,\alpha_i)$ par $$g:=\frac {\sum \alpha_i a_i}{\sum \alpha_i}$$etc... C'est ce qui est fait dans les universités américaines également(par exemple une application affine $v$ est définie comme $v=t_a u$, avec $u$ linéaire). On peut considérer le point (2) ci-dessus comme simple affaire de traductions triviales, qu'on épargnera au débutant car, comme l'écrit Dixmier dans son célèbre cours de mathématiques du premier cycle, la notion d'espace affine "a peu d'importance en 1ère et 2è année". -
Y a-t-il un Dixmier pour la deuxième année de licence ?
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@OShine : oui, il y a deux tomes : un pour la 1è année, et un pour la 2è année. Mais ce travail de Dixmier date de 1976, avec des étudiants arrivant en 1è année, biberonnés depuis le cours préparatoire (CP) à la théorie naïve des ensembles ; j'ai un manuel de 1976 de CE2, où la notion de relation d'équivalence sur un ensemble est enseignée à des enfants de 8 ans. Il y a les Schaum aussi, écrits par des universitaires américains avec pleins d'exos faciles corrigés : Algèbre linéaire.
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@OShine : Le style de Dixmier est d'une grande clarté. De nombreux étudiants ont utilisé son cours pour assimiler les maths de 1è et 2è année. Mais son livre est très dense puisqu'il couvre tout le programme, pas seulement l'algèbre linéaire. Il y a peu d'exercices triviaux, comme on en trouve chez Lang qui consacre deux tomes à uniquement l'algèbre linéaire. Dixmier est un Bourbaki, qui a eu comme élèves des futurs mathématiciens renommés, auxquels il pensait forcément quand il a écrit son livre. Il y a plusieurs types de livres : des livres écrits pour des enseignants, d'autres pour les étudiants lambda (par exemple, Algèbre 1ère année, de François Liret et Dominique Martinais , 1997, chez Dunod): pour moi le travail de Dixmier est entre les deux, tout comme le livre de Pierre Gabriel.
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François Liret a sorti une deuxième édition en 2021 pour algèbre et analyse L1.
J'ai parcouru les démonstrations sont d'une clarté étonnante par contre dommage que les exercices ne sont pas corrigés en détail, que des indications...
Je n'arrive pas à travailler avec des livre qui ne corrigent pas les exercices entièrement. -
Concernant les Dixmier, pour la petite histoire j'ai voulu revendre les miens ainsi que d'autres bouquins.Habituellement, je ne cherche pas à gagner beaucoup d'argent dans les reventes de livres, d'ailleurs je trouve hallucinant que certains livres épuisés se vendent plus chers que les neufs (je me souviens des MIR à 10F, donc 1,5€ chez Gibert) ...Je contacte un revendeur célèbre de livres scientifiques, dont mathématiques. Sur la liste que je propose, il m'en reprend qu'environ 1 sur 5. Les Dixmier n'y figurent pas, je lui pose la question "ah bah, vous savez ces livres ne se vendent plus du tout, si vous en tirez 10€ pour les deux vous aurez de la chance". J'ai finalement vendu mon lot de deux tomes à 20€. Je pense que c'était correct pour l'acquéreur et pour moi.À titre personnel, je les ai peu consultés, le style me convenait moyennement, mais je sais qu'ils ont plu à beaucoup d'étudiants.
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ok bref il y a pas de livre qui fasse l’unanimité, faudrait se ruiner en achetant tous les livres...sinon à quoi serviraient les profs et les cours particuliers ?je veux bien apprendre par cœur plein de théorèmes à conditions que l'on me démontre VRAIMENT ces théorèmes à partir des bases axiomatiquesce n'est pas parce que ça parait évident qu'il faut laisser l'autodidacte dans la merde en négligeant les démonstrationsde même les exercices pas corrigés ne servent à rien à celui qui n'y arrive pas tout seul
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@stfj les deux tomes du Dixmier ne sont pas du tout des livres de taupins, le style est très différents des RDO par exemple, mais ont été écrits d'après ses cours d'Université et contiennent plus d'explications. Ce n'est pas du tout un style "à la française" bourbakiste (=demmerde toi pour comprendre). D'autre part on lui a parfois reproché - sur le tome 2 - d'avoir une orientation pré-physique avec une approche qui favorise la compréhension des problèmes de conservation.
Enfin on préférera la deuxième édition qui comporte des exercices avec indications et des corrections de coquilles.
Le tout totalise environ 1100 pages en caractères pas très gros ...
Pour ce qui est du niveau et de la densité, c'était destiné effectivement à des étudiants sortant de terminale C des années 70 et 80 auprès desquels il avait du succès. Pour quelqu'un sortant d'une terminale d'aujourd'hui (hors établissements spéciaux) ça doit être assez raide..."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Ramis-Deschamps-Odoux : c'est des livres pour les profs de prépa , pas pour leurs étudiants.
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Les deux tomes du Dixmier sont toujours en bonne place dans les BU et ce n’est pas pour rien ! Son style n’a rien à voir avec les imbitables productions « bourbachiques ». Plus clair, plus progressif, presque rassurant. Et pourtant, on comprend vite que cet ancien directeur de thèse d’un certain Alain Connes a de quoi en mettre plein la vue à l’étudiant apeuré (d’hier et d’aujourd’hui).
Ces ouvrages m’ont été d’une grande aide (surtout en analyse).
En illustration, j’attache la première page du chapitre XXXIX sur les séries.
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@biguine_equation
Merci pour ton partage. -
OShine: de rien !
J’ajoute que si on veut comprendre les espaces vectoriels et d’autres notions basiques de l’algèbre linéaire et si on comprend un peu l’anglais, il y a les « OpenCourses » du MIT par le professeur Gilbert Strang que certains étudiants en ligne surnomment « Doctor Strange » !
Il est vraiment excellent ! Bref: entre les pdf en ligne, les vidéos et les ouvrages universitaires : il y a de quoi faire. -
Disons que les Bourbaki servent plutôt à approfondir les connaissances. On ne va pas lire un Bourbaki traitant un sujet qu'on ne connait pas du tout... Mais pour approfondir ils sont excellents à mon avis.biguine_equation a dit :Son style n’a rien à voir avec les imbitables productions « bourbachiques ». -
Je te conseille d'emprunter des livres dans une b.u. et d'essayer de travailler avec pour découvrir à l'usage lesquels te conviennent et [ce] qu'il te faudrait acheter.franck63 a dit :ok bref il y a pas de livre qui fasse l’unanimité, faudrait se ruiner en achetant tous les livres...sinon à quoi serviraient les profs et les cours particuliers ? -
Je suis un peu étonné de ce fil.Un livre de L1 qui parle des espaces vectoriels va, de mon point de vue, être très détaillé et fournir des exemples à la pelle.Par contre, j’imagine qu’il doit bien exister un livre qui traite des catégories par exemple et qui traite des espaces vectoriels en une demi-page, sans exemple.Conclusion : j’irais choisir un livre algèbre MPSI et je suis quasiment [oui…quasiment car il doit bien exister un livre mal fichu] certain que j’y trouverais mon compte en ce qui concerne les espaces vectoriels. Certes ensuite il y a le style, et la forme adoptée.MONIER semble davantage analyste qu’algébriste mais son bouquin Algèbre MPSI (à partir de l’édition 3) est bien fait.
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@xax : c'est tout le paradoxe : je n'ai jamais lu un livre d'un membre de Bourbaki destiné à des débutants qui parte du général pour aller au particulier. Dixmier est extrêmement clair, encourage son lecteur à étudier des courbes paramétrées plutôt qu'à faire de la topologie qu'il qualifie quelque part dans son cours d'"ennuyeuse"; Dieudonné se cantonne dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire aux espaces de dimension 2 ou 3; Laurent Schwartz dans son cours d'analyse de polytechnique encourage son lecteur à passer rapidement sur les premiers chapitres pour faire le plus vite possible de l'analyse... Pierre Gabriel explique que les maths, c'est partir du particulier, des exemples pour aller au général. Serge Lang dans Linear Algebra part de $\mathbb R^2$. Je ne sais pas pourquoi il y a cette légende qu'en France, on part du général pour les débutants pour aller au particulier : personne ne le fait. Nos professeurs de classes préparatoires à la fin des années 80 nous encourageaient à chercher des exemples dans $\mathbb R^2$ ou $\mathbb R^3$: je me rappelle un inspecteur général qui, à l'issue de son inspection, avait lancé : "je vous laisse en de bonnes mains".
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À titre personnel, je trouve l'Algebra de Serge Lang considérablement plus difficile à lire que le cours d'analyse de Schwartz. Enfin, en tant qu'étudiant j'étais capable de lire le deuxième, et pas du tout le premier. Certes, je suis (davantage) analyste, mais tout de même. J'en discutais une fois avec un collègue pour le coup algébriste, lui aussi trouvait ce livre d'un abord pas évident du tout.Je lis très peu les Bourbaki, mais il est arrivé qu'ils me rendent service (notion de structure uniforme en topologie), sur quelques points que je n'avais trouvé nulle part ailleurs. Je me souviens d'ailleurs d'un américain, bien plus spécialiste que moi de l'endroit où Bourbaki m'avait débloqué, me dire qu'il ignorait même l'existence de ce que j'avais utilisé et qui venait de Bourbaki. Lui, une sommité mondiale de niveau infiniment supérieur au mien, regrettait justement l'absence de Bourbaki dans l'enseignement des maths aux US (que je n'ai pas non plus connu, ayant eu mon bac en 1990).De mémoire, dans les premières versions du cours de Schwartz (la version "bottin", pas celle modifiée par une personne dont je n'ai plus le nom en tête), il y a la "bonne" démonstration du théorème de Heine. Une petite généralisation, certes "évidente" mais qui débloque lorsqu'on veut démontrer que l'opérateur de Nemytskii est continu entre espaces de fonctions continues (définies sur un compact), Certes, c'est "évident", mais je n'ai pas le souvenir d'avoir vu cela ailleurs.
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Le livre d'Henri Roudier, Algèbre Linéaire chez Vuibert, qu'on peut encore trouver en occasion pour pas trop cher parfois et dans toutes les BU normalement, est excellent pour qui dispose d'un peu de temps et désire s'investir.
Il présente l'algèbre linéaire dans son ensemble avec beaucoup d'exemples et de progressivité, n'hésitant pas à mesure des chapitres à revenir plusieurs fois sur la même notion pour la montrer sous différentes facettes (ce qui est l'une des clés de l'algèbre linéaire à mon avis, et l'une de ses principales difficultés pour les débutants, à savoir : comment interpréter tel objet et choisir la vision la plus adaptée au problème). De nombreux exercices (corrigés !) complètent le livre, ainsi que des annexes dans plusieurs chapitres qui permettent d'aller plus loin sur certains points ou de présenter les choses sous un angle différent.
Près de 800 pages de bonheur...
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Le cours de Hervé le Dret licence 1 devrait suffire.
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« Il n’y a rien à comprendre concernant les espaces vectoriels, juste connaître les axiomes (…) En elle-même la notion abstraite n’a aucun intérêt.»(stfj)
Un peu définitif, ce genre de phrases, non ?
Si on livre en vrac les axiomes définissant un $K$-espace vectoriel $E$ et qu’on demande à un étudiant débutant d’isoler ceux qui se résument à: « $E$ est un groupe abélien pour l’addition des vecteurs », je ne garantis pas le résultat.Ensuite, on peut déduire les conséquences de tel ou tel axiome comme l’existence, pour tout $v \in E$, d’un opposé $-v \in E$ tel que $v+(-v)=0_E$.
Mais ce n’est pas immédiat non plus.
Par exemple, on peut démontrer, à partir des seuls axiomes que pour tout $u,v \in E$ il existe un unique $x \in E$ tel que $x+v=u$. Mais quand et comment utiliser les bons axiomes ?
Ensuite, par rapport au premier message de franck63: il faut distinguer sous-espace et sous-espace vectoriel. Un sous-espace $F$ d’un espace vectoriel $E$ est tel que $u+v \in F$ et $cu \in F$ pour tout $u,v \in F$ et tout scalaire $c \in K$.
À partir de là, on démontre que tout sous-espace d’un $K$-espace vectoriel est lui-même un $K$-espace vectoriel. -
Stfj, non je ne les confonds pas. En fait je signalais qu'un Bourbakiste est éventuellement plus lisible qu'un auteur cité par ailleurs
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@math2 : je ne comprends pas. Linear algebra I, qu'on peut même lire en français, traduit en 1976 par Braemer et Richard de Lyon I, est un ouvrage élémentaire qui s'adresse à des débutants en algèbre linéaire : il commence par rappeler la notion de droite graduée(enseignée en 6è en France), puis celle de repérage dans le plan (5è), puis dans l'espace (3è), la règle du parallélogramme (seconde), de la multiplication d'un vecteur par un nombre réel (seconde), le produit scalaire (première S), ..., le produit vectoriel (TS), les nombres complexes (TS) puis définit à partir du chapitre II, les espace vectoriels (math sup), les matrices (TS), les équations linéaires (TS)...
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Je répète que je ne confonds pas les deux manuels. Paradoxalement, je trouve que le Bourbakiste Schwartz est capable d'écrire de manière très lisible pour un matheux de niveau correct tel que moi, et même sur des sujets plutôt avancés, tandis que Lang, même s'il a écrit qq ouvrages élémentaires, devient nettement moins lisible sur des livres un peu plus avancés, en tout cas pour moi qui après 6 mois de travail approfondi du livre que j'ai cité, j'ai fini par renoncer. Mais rien à voir avec linear algabra 1 et 2 que j'avais en anglais
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Le livre de Lang Algebra va vraiment loin (au moins M2), alors que le livre d'analyse fonctionnelle de Schwarz reste au niveau licence (Ascoli, espaces compacts, espaces normaux) Même si on est dans deux parties très différentes, on peut dire que les niveaux ne sont pas comparables.Et puis par définition Bourbaki est formel et démontre tout jusqu'au moindre détail, le style de Lang, vu le niveau de l'ouvrage est peut-être un peu plus rapide et d'un formalisme un peu moins strict par moment, c'est probablement un peu déstabilisant pour un jeune étudiant.
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BonsoirA noter que vos interventions n'aident pas l'initiateur de ce fil.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Tu mets vraiment tout le monde dans le même paquet ? Je trouve au contraire qu'il y a des retours assez précis sur une grande variété de manuels d'algèbre linéaire.Et comme il n'y a pas vraiment de réponse unique à la question initiale, il me semble normal qu'il y ait quelques discussions.
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Difficile en effet de savoir qui est visé et surtout de trouver le message condescendant puis similaire d’ailleurs à celui d’un arroseur arrosé (dire ceci n’aide pas non plus l’initiateur du fil…).
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