Les probas en 2023 en classe de troisième et la théorie naïve des ensembles
Bonjour,
Je suis professeur de collège et ai toujours été perplexe sur l'introduction il y a quelques années maintenant des probas en collège. Prétendre faire une introduction aux probabilités sans disposer d'aucun élément -presque - de théorie des ensembles naïve me paraît toujours une gageure.
Mon livre de référence sur le sujet est le belin 2008 dont le directeur d'ouvrage est Claude Deschamps.
Avec juste trois notations mathématiques: des lettres majuscules$( A, B, C, D, E, F, M)$ pour désigner des événements ; une notation ad hoc $(\overline{A}$ ou "non $A$") pour l'événement contraire; $p(A)$ pour la probabilité $p$ d'un événement $A$, le Belin (chapitre Statistiques et probabilités) réussit l'exploit de présenter un cours cohérent, accessible à des élèves ne disposant d'aucune connaissance de théorie naïve des ensembles, sur une notion pourtant basée depuis presque un siècle maintenant sur la théorie naïve des ensembles.
Pour se limiter évidemment aux probabilités sur un ensemble fini $U$ de cardinal Card$(U):=n$, une probabilité sur $U$ est une application de l'ensemble $\mathcal{P}(U)\to [0,1]$ telle que $pU=1$; pour $A=\{x_1,...,x_p\}\subset U, p(A):=\sum p(\{x_i\})\color{red}(*)$
Le Belin réussit l'exploit de (1) donner une définition statistique de la probabilité d'un événement élémentaire; (2) donner comme propriété : la probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des éventualités qui le composent.
Comme quoi c'est faisable à condition pour un enseignant de continuer à croire qu'une majorité d'élèves apprend son cours, et surtout multiplie les exercices et les exemples. C'est sur ce dernier point que je voudrais partager : répartitions "filles-garçons" dans des collèges, dé à trois faces (Card $\mathcal{P}(U)=2^3=8)$, à quatre faces, à six faces, ... pièce de monnaie, jeu de carte, roue de loterie avec des fractions de la roue coloriées, urne avec des boules, roulette de casino, bataille navale ...
Je recherche des exemples de probabilité sur des ensembles finis permettant de pallier comme dans le Belin à l'absence de connaissances de théorie des ensembles naïve pour néanmoins arriver à armer mes élèves pour ce qui les attend au lycée. Par exemple, le dé à 3 faces, on l'aura compris, me permet d'explorer simplement avec mes élèves tous les événements de façon plus intéressante que le jeu de pile ou face ainsi que de décrire entièrement, de A à Z, la probabilité associée $\color{red}(*)$
Je suis professeur de collège et ai toujours été perplexe sur l'introduction il y a quelques années maintenant des probas en collège. Prétendre faire une introduction aux probabilités sans disposer d'aucun élément -presque - de théorie des ensembles naïve me paraît toujours une gageure.
Mon livre de référence sur le sujet est le belin 2008 dont le directeur d'ouvrage est Claude Deschamps.
Avec juste trois notations mathématiques: des lettres majuscules$( A, B, C, D, E, F, M)$ pour désigner des événements ; une notation ad hoc $(\overline{A}$ ou "non $A$") pour l'événement contraire; $p(A)$ pour la probabilité $p$ d'un événement $A$, le Belin (chapitre Statistiques et probabilités) réussit l'exploit de présenter un cours cohérent, accessible à des élèves ne disposant d'aucune connaissance de théorie naïve des ensembles, sur une notion pourtant basée depuis presque un siècle maintenant sur la théorie naïve des ensembles.
Pour se limiter évidemment aux probabilités sur un ensemble fini $U$ de cardinal Card$(U):=n$, une probabilité sur $U$ est une application de l'ensemble $\mathcal{P}(U)\to [0,1]$ telle que $pU=1$; pour $A=\{x_1,...,x_p\}\subset U, p(A):=\sum p(\{x_i\})\color{red}(*)$
Le Belin réussit l'exploit de (1) donner une définition statistique de la probabilité d'un événement élémentaire; (2) donner comme propriété : la probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des éventualités qui le composent.
Comme quoi c'est faisable à condition pour un enseignant de continuer à croire qu'une majorité d'élèves apprend son cours, et surtout multiplie les exercices et les exemples. C'est sur ce dernier point que je voudrais partager : répartitions "filles-garçons" dans des collèges, dé à trois faces (Card $\mathcal{P}(U)=2^3=8)$, à quatre faces, à six faces, ... pièce de monnaie, jeu de carte, roue de loterie avec des fractions de la roue coloriées, urne avec des boules, roulette de casino, bataille navale ...
Je recherche des exemples de probabilité sur des ensembles finis permettant de pallier comme dans le Belin à l'absence de connaissances de théorie des ensembles naïve pour néanmoins arriver à armer mes élèves pour ce qui les attend au lycée. Par exemple, le dé à 3 faces, on l'aura compris, me permet d'explorer simplement avec mes élèves tous les événements de façon plus intéressante que le jeu de pile ou face ainsi que de décrire entièrement, de A à Z, la probabilité associée $\color{red}(*)$
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Réponses
Pour revenir à l’avocat du diable.
Le plus important est selon moi de distinguer « j’ai deux issues » de « j’ai une chance sur deux ».
- Calculer des probabilités dans des contextes familiers."
La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves."
Merci @gerard0 pour ta réponse !
J’ai tout de même répondu à ta question que je n’ai pas trouvé ridicule.
J'ai enseigné de nombreuses années au collège les probabilités. Je les ai même enseignées un peu moins longtemps au lycée. Je ne sais pas ce qu'est la "notion intuitive de probabilité". Par contre, je sais ce qu'est une probabilité sur un ensemble fini. Qu'est-ce que je réponds à un élève intelligent( et j'en ai eus beaucoup) qui vient me voir à la fin du cours et me dit : "monsieur, je n'ai pas bien compris ce qu'est une probabilité. Qui fixe les probabilités ? Combien de fois doit-on lancer une pièce pour être sûr qu'elle tombe une fois sur deux sur pile ? Combien a-t-on dû faire exploser de bombes atomiques pour valider les systèmes probabilistes associés? Si j'ai un trou le jour du brevet, dois-je répéter l'expérience avec des bouts de papier dans ma trousse pendant un quart d'heure pour retrouver telle ou telle probabilité, ou pendant une demi-heure ?...C'est quoi une probabilité, monsieur ?"
tu as de la chance, tu as eu un prof qui parlait de probas en L3, et tu as fait une TC qui parlait de probas sur des univers finis. Moi je n'ai pas eu de cours de probas, et l'UV qui parlait des théorèmes nécessaires en probas s'appelait "calcul intégral", avec un prof formé par la génération Bourbaki pour qui les probas n'étaient pas des maths. Donc j'ai tout appris par moi-même.
La notion intuitive de probabilités, c'est, pour moi, la quantification des chances qu'à un évènement de se réaliser. Cette quantification peut s'obtenir de manière théorique en identifiant les évènements élémentaires (et en supposant qu'ils ont autant de chance de se produire en l'absence d'information particulière). Elle peut aussi s'estimer expérimentalement par la fréquence passée de tel ou tel événement. Tout cela ne nécessite aucun formalisme. Je n'ai rien contre la définition un peu théorique d'une probabilité comme une application mais ce qui me paraît indispensable, c'est d'avoir intégré la notion intuitive qui est utile dans la vie de tous les jours. D'accord avec Dom sur l'enjeu sociétal.
PS. J'ai aussi de très bons élèves venant de très bons lycées
R : Une application qui …
Q : C’est quoi une application ?
R : C’est un ensemble qui …
Q : C’est quoi un ensemble ?
Toutes les discussions peuvent venir à cette même fin… (si c’en est une…)
En ce sens, savoir ce qu’est une probabilité ne permet pas de résoudre un exercice de collège qui porte sur la notion de probabilité.
Ne sois pas déçu, la théorie de la mesure en probabilités n'a pas vraiment d'intérêt ni pour le collège ni pour le lycée et de toute façon, l'exercice serait le même avec des points à l'intersection d'un quadrillage, le lien avec les aires est faible, on est en discret.
Si tu y tiens vraiment, je te suggère de partir plutôt sur un jeu de fléchettes avec une distribution uniforme sur la cible. S'ils savent calculer l'aire d'un disque, c'est jouable.
Avec des dessins en couleurs comme quand j'avais 8 ans, tout le monde sait que ça passe comme une lettre à la poste. "De ce paradis, nul ne pourra nous chasser". Il est vrai qu'Hilbert ne songeait pas aux enseignants du secondaire. Vue la formation des professeurs de lycée et collège, cela relève de la schizophrénie : tu as toutes les billes pour expliquer aux élèves mais tu n'as pas le droit de jouer avec sous prétexte que tes collègues ont été évidemment dépassés par la massification scolaire dans les années 70...
Qu'est-ce qui fait qu'une pièce tombe une fois sur deux sur pile et une fois sur deux sur face ? Ben rien, c'est faux sauf en moyenne quand on fait une infinité de lancers, ce qui m'est impossible de faire... . Tout ce qu'on peut faire, c'est induire avec la loi bêta le paramètre $p= \frac{1}{2}$ avec une certaine certitude que l'on contrôle (et c'est ce contrôle de l'incertitude qui me paraît le plus proche d'une notion intuitive des probas).
Mais pour l'expliquer à des 3e... on fait avec les mains !
Le mieux, c'est de leur faire accepter le principe suivant mentionné par Vassilia : "A priori, les évènements élémentaires ont autant de chances de se produire (sont équiprobables)". C'est précisément en réalisant des expériences scientifiques sur le résultat d'un lancer de dé par exemple qu'on finit par accepter que c'est comme ça, c'est magique. Et après, on vient dire que les maths, ce n'est pas de la science ...
Dans les exemples suivants, est-ce équiprobable ?
1) Il pleut/il ne pleut pas, à Paris, à 10h00 le 14 juillet
2) Un référendum (au choix)
3) Je jette non pas un dé, mais une boîte parallélépipédique non cubique…
quels sont lesdits « événements élémentaires » ?
4) Je tourne la roue suivante
Les dés à trois faces, cela existe (Wiki...) mais c'est quand même rare !
Bon, l'intérêt n'est pas fantastique, certes...
Cordialement.
PG
Un événement élémentaire, c’est une carte du jeu, c’est-à-dire un élément de ce produit cartésien.
Ainsi l’évènement « Tirer un as » est la réunion de quatre événements élémentaires équiprobables: (cœur,as), (pique,as), (trèfle,as), (carreau,as).
La probabilité de l’événement « Tirer un as » est donc la somme des probabilités des événements élémentaires: $1/5$.
C’est la bonne vieille probabilité intuitive chère à Poincaré !
Le problème avec la probabilité dite « intuitive », c’est qu’elle n’évite pas les ambiguïtés. Si on se contente de jeux de dés ou de cartes, ça va. Après, intervient l’axiomatique de Kolmogorov. Mais on ne va tout de même pas enseigner au collège, les mesures de probabilités sur une $\sigma$-algèbre ! Le prof va se retrouver au tribunal pour maltraitante pédagogique.
1) univers, issues, événements élémentaires, événements, notations avec accolades
2) loi de probabilité sur un univers : on la « définie » en la donnant à chaque fois en mettant des événements élémentaires de probabilités non forcément égales.
Si l'on considère les tirages indépendamment du fait qu'ils sont associés deux par deux, les statistiques traduisent d'une part à peu près l'équiprobabilité d'obtenir $1,2,3,4$ ou $5$; d'autre part, on obtient une probabilité $p(Rouge)=\frac{13}{22}\approx 0.59$, ce qui est absolument remarquable puisque $p(Rouge)=\frac35=0.6$. C'est une superbe activité susceptible de nombreux développements intéressants. Merci à nouveau.
Je n'ai aucun respect pour la censure académique qui a voulu faire disparaître les arrangements du paysage intellectuel de toute la tranche d'âge des moins de 20 ans. Je décris ce qui se passe ci-dessous.
Le nombre d'injections d'un ensemble à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments s'appelait autrefois nombre d'arrangements et se notait $A^p_n$. L'égalité $A^p_n = \prod_{i=1}^p (n-i+1) = n(n-1) ... (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$ est démontrée par le raisonnement précédent, qui est la formalisation de l'argument "il y a $n$ façon de choisir le premier élément dans $Y$, puis $n-1$ façons de choisir le deuxième puis $n-2$ façon de choisir le troisième, etc... enfin $n-p+1$ façons de choisir le $p$-ième".
Dans ces conditions, on peut effectivement aborder ces notions très tôt pour leur faire faire des exercices. Inconvénient de la méthode : elle fâche le monde académique qui tient tant à rendre ces notions incompréhensibles mais est-ce bien grave ? Pas tant que ça car en réalité ils n'ont aucun pouvoir de censure.
Pour ce qui est des profs, quand tu es amené à en aider certains... Ca dépend des gens je dirais, c'est pourquoi je suis favorable au fait de diffuser ces notions le plus largement possible.
Du coup, je suis pour une approche très élémentaire des ensembles au collège, les diagrammes que j’appelle patates (aussi appelé diagramme de Venn pour faire plus savant) me paraissent très bien pour ce niveau. Je sais, tu risques de hurler que ce n'est pas assez formel mais tant pis, au moins, ils arriveront à sortir les formules basiques avec union et intersection.