Dérivée de Lie

Oui comme $\sigma$ c'est une $k$-forme quand tu appliques $k$ champs de vecteurs à $\sigma$ ça devient une fonction.

En fait la dérivée de Lie c'est une dérivée tensorielle (je ne sais pas si ça s'appelle comme ça en français mais en anglais c'est ''tensor derivation'').

Et les fonctions, les champs de vecteurs et les $k$-formes c'est des (champs de) tenseurs particuliers.

Un truc important c'est que la dérivée tensorielle ne change pas la nature des objets qu'elle prend en argument (la dérivée de Lie d'un champ de vecteurs c'est un champ de vecteurs...) avec cette remarque si tu regardes ton égalité tu vois que tout est bien cohérent.

Maintenant par définition d'une dérivation tensorielle, la dérivée de Lie vérifie deux axiomes c'est grâce à eux qu'on peut démontrer ta formule.

Le premier c'est la règle de "dérivation d'un produit" mais avec le produit tensoriel :

Soit $A$, $B$ deux tenseurs $L_X(A \otimes B )= L_X(A) \otimes B + A \otimes L_X(B)$.

La deuxième c'est la commutativité avec les contractions. Soit $C$ une contraction, soit $A$ un tenseur alors $C(L_X(A))=L_X(C(A))$

Une contraction c'est une fonction qui prend un tenseur de type $(p,q)$ (ça signifie un tenseur qui prend en argument $p~$ $1$-formes et $q$ champs de vecteurs). Et qui donne un tenseur de type $(p-1,q-1)$ (on peut contracter quand $p\geq 1$ et $q \geq 1$).

(En particulier une $k$-forme c'est un tenseur de type $(0,k)$ et un champ de vecteurs un tenseur de type $(1,0)$ par des arguments de "bidualité").

Pour ce passage j'utilise la sommation d'Einstein et l'écriture en coordonnées.

Un exemple de contraction soit $A$ un tenseur de type $(1,2)$ en coordonnées on a $A=A^{i}_{jk} \partial_{i} \otimes dx^j \otimes dx^k$, 

il faut choisir un indice en haut et un indice en bas et on va faire la contraction sur ces deux indices. Pour le haut on n'a pas le choix on n'a que $i$, et pour le bas on peut prendre $j$ par exemple pour contracter on fait "bouffer le $\partial_{i}$ par le $dx^j$ ($dx^j(\partial_{i})$) si on appelle $C$ cette contraction on a alors $C(A)=dx^j(\partial_{i}) A^{i}_{jk}dx^k$ sauf que par des arguments de "base duale" $dx^j(\partial_{i})=1$ si $i= j$ 0 sinon. Et $C(A)=A^{i}_{ik}dx^k$.

Et on peut composer les contractions à volonté pourvu qu'on ait assez d'indices, bon là j'ai expliqué un peu avec les mains parce que ça prendrait un peu plus de temps pour plus de rigueur et ici l'important je pense c'est juste d'avoir une idée. (Une contraction est linéaire).

Maintenant l'astuce pour la démo c'est que quand tu fais le produit tensoriel entre une $k$-forme  et $k$ champs de vecteurs (ça donne un tenseur de type $(k,k)$) il existe une composée de $k$ contractions qu'on appelle toujours $C$, telle que si tu l'appliques au produit tensoriel ça donne la $k$-forme évaluée en tes $k$ champs de vecteurs. Dans les égalités suivantes je vais utiliser plusieurs fois cet argument (pour mieux voir tu peux essayer avec $k=1$ et $X \otimes \theta$, où $X$ est un champ de vecteurs et $\theta$ une $1$-forme il n'y a qu'une contraction possible et si t'écris en coordonnées tu verras directement que $C(X \otimes \theta)= \theta(X)$.

On a alors : $\sigma(Y_1,\dots ,Y_k)= C(\sigma \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes Y_k)$

Par la commutation contraction dérivation on a :

$L_X(\sigma(Y_1,\dots ,Y_k))= L_X(C(\sigma \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes Y_k))= C(L_X(\sigma \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes Y_k))$

Par la dérivation produit on a :

$C(L_X(\sigma \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes Y_k))=C((L_X\sigma) \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes Y_k +\sigma \otimes (L_X Y_1) \otimes \dots \otimes Y_k +\dots +\sigma \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes (L_XY_k))$

Par linéarité des contractions on a :

$C(L_X(\sigma \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes Y_k))=C((L_X\sigma) \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes Y_k )+C(\sigma \otimes (L_X Y_1) \otimes \dots \otimes Y_k)+\dots +C(\sigma \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes (L_XY_k))$

Et par l'astuce que j'ai énoncée plus haut :

$C(L_X(\sigma \otimes Y_1 \otimes \dots \otimes Y_k))=(L_X\sigma)(Y_1,\dots ,Y_k) + \sigma(L_X Y_1,\dots ,Y_k) + \sigma(Y_1,\dots ,L_XY_k)=L_X(\sigma(Y_1,\dots ,Y_k))$