Déterminer les constantes réelles a,b,c telles que...

Bonsoir Shadows
La bonne vieille technique taupinale. $\qquad\dfrac{x-1}{x^3+1}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^2-x+1}.$
Tu multiplies tout le monde par $(x+1)$ et tu fais $x=-1$. Cela donne $\ a=\left.\dfrac{x-1}{x^2-x+1}\right|_{x=-1}=\dfrac{-2}3$.
Puis tu multiplies tout par $x$ et tu fais tendre $x\to\infty$. Cela donne $\ 0=a+b$, d'où $b=\dfrac23$
Enfin tu fais $x=0$ pour obtenir $-1=a+c$, ce qui donne $\ c=\dfrac{-1}3$. Finalement $$\frac{x-1}{x^3+1}=\frac{-2}{3(x+1)}+\frac{2x-1}{3(x^2-x+1)}.$$
Équation que l'on vérifie aisément en réduisant au même dénominateur.
Alain.