Dérivée de Lie
Bonjour,
j'ai un problème pour démontrer une propriété concernant la dérivée de Lie (ref: Manifolds J.M Lee page 474 prop 18.9 (f)).
j'ai un problème pour démontrer une propriété concernant la dérivée de Lie (ref: Manifolds J.M Lee page 474 prop 18.9 (f)).
Si $X$ est un champs de vecteur lisse, $Y_1,\dots,Y_k$ sont des champs de vecteurs lisses, $\sigma$ est un "k-tensor field" (je pense que c'est une k-forme) alors :
$L_X\big(\sigma(Y_1,\dots,Y_k)\big)=(L_X\sigma)(Y_1,\dots,Y_k)+\sigma(L_XY_1,Y_2,\dots,Y_k)+\dots+\sigma(Y_1,\dots,L_XY_k)$.
Je ne vois pas comment montrer ça.
Merci.
$L_X\big(\sigma(Y_1,\dots,Y_k)\big)=(L_X\sigma)(Y_1,\dots,Y_k)+\sigma(L_XY_1,Y_2,\dots,Y_k)+\dots+\sigma(Y_1,\dots,L_XY_k)$.
Je ne vois pas comment montrer ça.
Merci.
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Réponses
Il y a plusieurs façon pour montrer ça.
La première façon c'est la plus fastidieuse tu écris tout en coordonnée tu regardes si ça correspond.
Pour la deuxième façon est ce que tu connais les contractions de tenseurs ?
merci pour la réponse. En fait je me suis mal exprimé, je vois mal le sens de $\sigma(Y_1,\dots,Y_k)$. C'est une fonction lisse de $M$ dans $\R$, c'est ça ?
Je ne sais pas ce que c'est que la contraction de tenseurs. Je vais jeter un œil.