Corps fini, extension de corps, polynôme irréductible
Bonjour
Je bloque au corrigé de la question 2. Je ne comprends pas comment on montre que $L=K(\beta)$. Je n'arrive pas à appliquer le cours sur les extensions que j'ai mis ci-dessous.
De plus, je ne comprends pas d'où sort la formule $card \ L =( card \ K)^2$, le cours dit que si $L$ est de caractéristique $p$ alors $card L = p^2$, mais ici on ne parle pas de caractéristique...
Je bloque au corrigé de la question 2. Je ne comprends pas comment on montre que $L=K(\beta)$. Je n'arrive pas à appliquer le cours sur les extensions que j'ai mis ci-dessous.
De plus, je ne comprends pas d'où sort la formule $card \ L =( card \ K)^2$, le cours dit que si $L$ est de caractéristique $p$ alors $card L = p^2$, mais ici on ne parle pas de caractéristique...
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Réponses
Le $\alpha$ du cours c'est $\beta$ mais j'aimerais comprendre le $K \subset K(\alpha) \subset K'$ comment il s'écrit dans l'exercice ?
On a d'après le cours, comme $\beta \notin K$ : $K \subset K(\beta) \subset L$. Montrons que $L \subset K(\beta)$.
Comme $(1,\beta)$ est une base de $K$ en tant que $F_2$ espace vectoriel, tout élément $x$ de $L$ s'écrit de façon unique sous la forme $x=a+b \beta$ avec $a,b \in K$. Donc $x \in K(\beta)$ d'après le point 3 du théorème. Soit $L \subset K(\beta)$.
Par contre, le $card \ L = (card \ K)^2$ je bloque toujours, je ne vois pas d'où ça sort ...
Merci ! Je cherchais des choses plus compliquées avec la caractéristique
Mon problème est que j'ai du mal à comprendre le quotient d'un quotient.
Par exemple je n'ai pas compris pourquoi $- \alpha^3= \alpha^3$.
Je ne comprends pas pourquoi dans L on calcule modulo 2 alors que le corps n'est pas $F_2$ mais $K$.
Dans la question $5$, je ne comprends pas pourquoi $F_2(\beta)=L$.
Mais dans $L$ je n'ai pas compris pourquoi $2=0$ dans $L$.
Quel est le rapport entre le degré et l'appartenance des racines à $K$ ?
Le reste c'est réglé.
Je ne comprends pas pourquoi on regarde si le degré divise 4 ni quel rapport avec les racines dans $K$.
Pour l'instant je n'ai toujours pas compris cette question.
Pour la deuxième question tu sais que $\mathbb{F}_2\subset L$ et $L$ est une extension de degré 8. Si $X^5+X^3+1$ possédait une racine, disons $\gamma$, dans $L$ alors tu aurais la tour d'extensions : $\mathbb{F}_2\subset \mathbb{F}_2(\gamma)\subset L$ avec $\mathbb{F}_2(\gamma)$ une extension de degré 5 de $\mathbb{F}_2$. Tu devrais avoir un résultat dans ton cours reliant les degrés des différentes extensions dans ce cas pour terminer facilement...
Il doit y avoir une méthode qui n'utilise pas cette notion.
Par contre mon cours dans un résultat intéressant qui n'utilise pas les extensions.
Théorème :
Le polynôme $X^{p^n}-X$ est le produit de tous les polynômes irréductibles de $F_p[X]$ dont le degré divise $n$.
Le corps $L$ a $2^8$ éléments donc ses éléments sont les racines du polynôme $X^{2^8}-X=\displaystyle\prod_{a \in L} (X-a)$. Ce polynôme est donc scindé sur $L$.
Mais $R=X^5+X^3+1$ est de degré $5$ qui ne divise pas $8$ donc $R$ ne divise pas $X^{2^8}-X$, ainsi les racines de $R$ ne sont pas dans $L$.
Je dois préciser que $\deg R=5 < \deg (X^{2^8}-X)=2^8$ ?
@JLapin on peut y échapper avec le théorème de son bouquin ICI (sachant que $R$ est irréductible). Mais bon...
On sait que $F_2[X] \subset L$. Le polynôme $X^5+X^3+1$ est considéré dans quel corps dans la dernière question ? C'est imprécis non ?
Je me perds, il y a trop de corps différents dans cet exercice, je trouve cet exercice vraiment difficile à cause du fait qu'on ne sait jamais vraiment où on est.
Je vais utiliser la propriété suivante.
Soit $A$ un anneau principal, $a,b \in A$ et $p$ un irréductible de $A$. Si $p \mid ab$ alors $p \mid a$ ou $p \mid b$.
Une tentative. Par l'absurde, si $R$ divise $X^{2^8}-X=\displaystyle\prod_{a \in L} (X-a)$, comme $R$ est irréductible alors $R$ divise au moins d'un des $X-a$ avec $a \in L$ donc $R=(X-a) Q$ ce qui est contradictoire avec $R$ irréductible.
Mais qui est $A$ ici ? $L$ ? $X^5+X^3+1$ est un élément de $L$ ?
ça c'est juste, on le déduit en utilisant le dernier théorème que tu as posté. Ensuite tu dis :
ça il faut le justifier. On le justifie ainsi : si $R$ avait une racine $\gamma\in L$ alors étant donné que $R$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$ (rappelons-nous que $R\in \mathbb{F}_2[X]\subset L[X]$), $R$ serait le polynôme minimal de $\gamma$ sur $\mathbb{F}_2$ et vu que $\gamma$ est racine de $X^{2^8}-X$ (car tous les éléments de $L$ sont racines de ce dernier polynôme), on en déduit que $R$ divise $X^{2^8}-X$. Mais on vient de dire ci-dessus que $R$ ne divise pas $X^{2^8}-X$, donc il y a une contradiction. Donc $R$ n'a aucune racine dans $L$.
Car quand on parle de polynôme minimal, les polynômes annulateurs doivent appartenir au même corps $K[X]$ non ?
En fait je n'arrive jamais à savoir à quel corps appartiennent les polynômes, dans le cours c'est écrit $X^q-X \in \mathbb{F}_p [X]$, je suis totalement perdu à ce niveau.
Ici $X^{2^8}-X \in \mathbb{F}_2[X]$ simplement car les coefficients sont dans $\mathbb{F}_2$ (le coefficient devant $X^{2^8}$ est le 1 de $\mathbb{F}_2$ et le coefficient devant $X$ est le $-1$ de $\mathbb{F}_2$).
Dans cet exo tu ne dois pas t'embrouiller avec le quotient de quotient. Il faut plutôt voir que tu as des corps emboîtés $\mathbb{F}_2\subset K\subset L$. Alors rigoureusement ce ne sont pas des inclusions mais des injections... mais tu avais déjà vu dans un autre fil pourquoi tu peux considérer que ce sont des inclusions.
Mais ça fait travailler l'abstraction et les ensembles.