Série de fonctions et inégalité

 Bonsoir à tous. S'il vous plaît, j'ai besoin d'aide pour démontrer l'inégalité e). Tout d'abord je pense que le $8$ précédent $ln(x^2)$ est une erreur de saisie. Autrement dit, l'inégalité à démontrer est la suivante : $$\ln(1+x^2)-\ln(x^2)≤S(x)\leq\ln(1+x^2)-\ln(x^2)+ \frac{1}{x^2+1}.$$ 
 J'ai essayé plusieurs valeurs de $x$ avec un logiciel de calcul et cet inégalité a été vérifiée. Cependant je n'arrive pas à la démontrer. Je démontre plutôt que : $$\ln(1+x)-\ln(x)≤S(x)≤\ln(1+x)-\ln(x) + \frac{1}{x^2+1},\quad \forall~x>0.$$
 Voici comment je procède.
 Pour $x>0$. La fonction $ g_x:t \mapsto \dfrac{1}{t^2x^2+t}$ est décroissante. Ainsi, on a : 
  \begin{align} k≤t≤k+1& \Rightarrow g_x(k+1)≤g_x(t)≤g_x(k) \\ & \Rightarrow \frac{1}{(k+1)^2x^2+(k+1)}≤\frac{1}{t^2x^2+t}≤\frac{1}{k^2x^2+k} \\ & \Rightarrow \frac{1}{(k+1)^2x^2+(k+1)}≤\int_k^{k+1}\frac{1}{t^2x^2+t}dt≤\frac{1}{k^2x^2+k} \\ & \Rightarrow \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(k+1)^2x^2+(k+1)}≤\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2x^2+t}dt≤\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2x^2+k}\\ & \Rightarrow S(x)-\frac{1}{x^2+1}≤\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2x^2+t}dt≤S(x) .\end{align}
 Or,  $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{t^2x^2+t}dt=\ln(1+x)-\ln(x)$.
 On déduit alors que : $\displaystyle \ln(1+x)-\ln(x)≤S(x)≤\ln(1+x)-\ln(x) + \frac{1}{x^2+1}.$
 S'il vous plaît, quelqu'un aurait une idée pour démontrer la véritable inégalité ?