Calcul d'une intégrale généralisée

J'ai le souvenir que $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\log x}{1+x^2} dx$ était une victime consentante pour les résidus (même si elle se calcule sans rien savoir, genre avec le bagage des 2 premières semaines sur l'intégration). On peut donc "se faire plaisir" dans $\mathbb{C}$. D'une part :

où on se place au-dessus de la coupure de Riemann $\mathbb{R}_-$ avec $z+i\epsilon$ puis $\epsilon \to 0$. D'autre part, en choisissant le demi-cercle adéquat comme contour :

Avec le changement de variable d'etanche on a

$$\int_0^{\infty}\frac{\log t}{a^2+t^2}=\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{\log a+\log y}{1+y^2}dy=\frac{\log a}{a}\int_0^{\infty}\frac{1}{1+y^2}dy+\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{\log y}{1+y^2}dy=\frac{\log a}{a}\times \frac{\pi}{2}+0$$ car
$$\int_0^{\infty}\frac{\log y}{1+y^2}dy=\int_0^{1}\frac{\log y}{1+y^2}dy+\int_1^{\infty}\frac{\log y}{1+y^2}dy=\int_0^{1}\frac{\log y}{1+y^2}dy-\int_0^{1}\frac{\log z}{1+z^2}dz\qquad(*)$$ par le changement de variable  $y=1/z.$ Tous ces details pour dire que les commentaires ci dessus avec les résidus et  certainement un peu d'ironie ne sont pas très utiles alors qu'il faut avoir vu {*} une fois dans sa vie.