L'intégration de $e^{ix}/\cosh(bx)$ sur l'intervalle $[-1,1]$

Dommage que les bornes soient finies, on a davantage de résultats honnêtes, disons de $0$ à $+\infty$.

Bonjour

il est peu probable en effet qu'il existe une forme close à ton intégrale
(à propos la lettre b figurant dans le titre a du coup disparu)

la fonction 1/ch(t) admet une primitive simple qui s'annule en zéro

$\int_0^x\frac{dt}{cht}=2Arctan(e^x) - \frac{\pi}{2}$

ton intégrale numérique s'écrit plus simplement :
$I = \frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}\frac{cosx}{ch\frac{\pi.x}{2}}dx + i\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}\frac{sinx}{ch\frac{\pi.x}{2}}dx$

la seconde intégrale est nulle puisque l'intervalle d'intégration est symétrique par rapport à 0
et d'autre part l'intégrande est fonction impaire

finalement l'intégrale I est réelle et convergente : $$I = \pi.\int_0^1\frac{cosx}{ch\frac{\pi.x}{2}}dx$$

il existe un développement fractionnaire à la fonction 1/ch : 

$\frac{\pi}{4ch\frac{\pi.x}{2}} = \Sigma_1^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{2n-1}{x^2 + (2n-1)^2}$ 

par multiplication par $4\pi.cos(x)$ et intégration de 0 à 1
on reconnait une transformation de Fourier mais sur des bornes inadéquates

à la calculatrice on trouve $I= 2,037215546....$

Cordialement