Quelle est la fonction $f$ la plus simple possible qui vérifie $f(\mathbb{R}_+^*) \subset \mathbb{R_+^*}$ et $|f'(x)| \frac{\ln(f(x))}{1 + f(x)^2} = \frac{-\ln(x)}{1 + x^2}$ ? Il suffit ensuite d'appliquer le CDV $t = af(x)$.
J'ai le souvenir que $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\log x}{1+x^2} dx$ était une victime consentante pour les résidus (même si elle se calcule sans rien savoir, genre avec le bagage des 2 premières semaines sur l'intégration). On peut donc "se faire plaisir" dans $\mathbb{C}$. D'une part :
où on se place au-dessus de la coupure de Riemann $\mathbb{R}_-$ avec $z+i\epsilon$ puis $\epsilon \to 0$. D'autre part, en choisissant le demi-cercle adéquat comme contour :
Bah, en comparant les 2 expressions, il est clair que $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\log x}{a^2+x^2} dx = \frac{\pi}{2a} \log a$. Ce qui, au passage, montre que ton énoncé est incorrect (car il manque un $a$ à ton dénominateur).
$$\int_0^{\infty}\frac{\log t}{a^2+t^2}=\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{\log a+\log y}{1+y^2}dy=\frac{\log a}{a}\int_0^{\infty}\frac{1}{1+y^2}dy+\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{\log y}{1+y^2}dy=\frac{\log a}{a}\times \frac{\pi}{2}+0$$ car $$\int_0^{\infty}\frac{\log y}{1+y^2}dy=\int_0^{1}\frac{\log y}{1+y^2}dy+\int_1^{\infty}\frac{\log y}{1+y^2}dy=\int_0^{1}\frac{\log y}{1+y^2}dy-\int_0^{1}\frac{\log z}{1+z^2}dz\qquad(*)$$ par le changement de variable $y=1/z.$ Tous ces details pour dire que les commentaires ci dessus avec les résidus et certainement un peu d'ironie ne sont pas très utiles alors qu'il faut avoir vu {*} une fois dans sa vie.
Je n'avais jamais vu $(*)$ mais je savais immédiatment quel CDV appliquer car c'est un principe beaucoup plus général de calcul. Mais je suppose que donner tout de suite la solution est plus utile pour faire progresser...
Bah, on n'est pas chargés de faire progresser celrek19, et j'ai rédigé complètement car le fil partait un peu dans tous les sens en réponse à sa demande d'indications.
Réponses
Il suffit ensuite d'appliquer le CDV $t = af(x)$.
$$\int_0^{\infty}\frac{\log y}{1+y^2}dy=\int_0^{1}\frac{\log y}{1+y^2}dy+\int_1^{\infty}\frac{\log y}{1+y^2}dy=\int_0^{1}\frac{\log y}{1+y^2}dy-\int_0^{1}\frac{\log z}{1+z^2}dz\qquad(*)$$ par le changement de variable $y=1/z.$ Tous ces details pour dire que les commentaires ci dessus avec les résidus et certainement un peu d'ironie ne sont pas très utiles alors qu'il faut avoir vu {*} une fois dans sa vie.