Diamètres conjugués (variante de Pappus)
Bonjour
La lecture du problème présenté par pappus m'a inspiré cet exercice.
Soient
• une ellipse de centre O,
• un point P fixe sur l'ellipse et
• deux diamètres conjugués quelconques de l'ellipse.
Projetons orthogonalement le point P sur
• les deux axes de l'ellipse en A et B (segment [AB]) et
• les deux diamètres conjugués en M et N (segment MN])
Montrer que
• les points M et N sont cocycliques avec les points P, B, O et A.
• le point d'intersection K des segments [AB] et [MN] reliant les projections de P est le point présenté dernièrement par pappus.
Il ne dépend que de la position de P sur l'ellipse, et est donc fixe quels que soient les diamètres conjugués utilisés pour le construire.
Bonne soirée
Jean-Pol Coulon
La lecture du problème présenté par pappus m'a inspiré cet exercice.
Soient
• une ellipse de centre O,
• un point P fixe sur l'ellipse et
• deux diamètres conjugués quelconques de l'ellipse.
Projetons orthogonalement le point P sur
• les deux axes de l'ellipse en A et B (segment [AB]) et
• les deux diamètres conjugués en M et N (segment MN])
Montrer que
• les points M et N sont cocycliques avec les points P, B, O et A.
• le point d'intersection K des segments [AB] et [MN] reliant les projections de P est le point présenté dernièrement par pappus.
Il ne dépend que de la position de P sur l'ellipse, et est donc fixe quels que soient les diamètres conjugués utilisés pour le construire.
Bonne soirée
Jean-Pol Coulon
Réponses
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Bonsoir Jean-Pol,Merci pour cet exercice, mais je dois te signaler deux coquilles et une faute :
- dans la dernière ligne de présentation, "en M et N"
- dans la première ligne de demandes, "les points M et N"
- dans la troisième ligne de demandes, "et est donc fixe quels que soient donc"
Puis-je aussi te demander de réduire les dimensions de ta figure d'au moins un tiers ? Une figure trop grande est aussi difficile à lire qu'une figure trop petite, je trouve ... Et tu devrais aussi y déplacer les lettres pour les rendre plus distinctes, notamment les noms des points du cercle qui seraient plus lisibles s'ils étaient à l'extérieur du cercle ... Je sais que Geogebra place systématiquement ces lettres en haut et à droite du point considéré, mais cela tombe mal, assez souvent !Bonne soirée, bien cordialement, JLB -
Merci Jelobreuil
« Quelque » est en effet impardonnable.
Concernant la dimension des images, je fais des copies d'écran très réduites sur mon iPhone.
Particulièrement dans le cas présent : l'ellipse est très étirée transversalement et n'occupe qu'un cinquième voire un sixième de la hauteur de mon écran en position verticale.
Mais il me semble que l'image est en fait ajustée à la dimension de la fenêtre de les-mathématiques.net lors de son importation: sur un écran de téléphone ce sera impeccable, sur l'écran d'un PC de bureau, je peux comprendre l'inconfort.
Un bug de Apple ?
Jean-Pol
-
Voici le lieu géométrique des points Kᵢ obtenus en déplaçant Pᵢ sur l'ellipse.
-
Jean-Pol, je comprends mieux ... effectivement, si tu écris tes messages et dessines tes figures avec un iPhone, ce doit être impossible de faire les retouches que je t'ai demandées !Personnellement, je refuse de posséder un smartphone, j'estime qu'un simple mobile est bien suffisant pour l'usage que j'en fais, et donc, c'est avec un PC que j'écris mes messages et fais mes figures. Ce qui me permet d'y apporter plus de retouches qu'à toi ...Mais la figure de ton dernier message est nettement plus petite que d'habitude ... elle vient de ton PC, celle-ci ?
Bien cordialement, JLB -
Jelobreuil
Merci du retour
Je commence à cerner le problème du recadrage et de la taille de l'image.
Si je recoupe l'image au niveau de ses bords supérieurs et inférieurs sans réduire les bords latéraux, l'image importée sur le site sera en largeur maximale.
Dès maintenant, je « retaillerai » mes images sur leurs 4 bords.
Pour le reste, j'ai pris beaucoup de plaisir à découvrir la concourance de la normale en P et des segments créés par projection de P sur les axes de l'ellipse et n'importe quelle paire de diamètres conjugués ...
que je ne sais naturellement pas démontrer sauf peut-être de manière analytique,
• P (a cos θ, b sin θ) = (x₀︎,y₀︎)
• équation de la normale en P
(y - y₀︎) = a²/b² y₀︎/x₀︎ (x - x₀︎)
• équation de la droite par (x₀︎,0) et (0,y₀︎)
y = [(y₀︎)/(-x₀︎)] (x-x₀︎)
• intersection K des deux droites précédentes
abscisse : x₀︎a²/(a²+b²)
ordonnée : y₀︎b₂︎/(a²+ b²)
• le pire : équation de la droite par les points de projection de P sur n'importe quelle paire de diamètres conjugués
?
et ensuite prouver que K vérifie l'équation
mais je ne vois pas comment y arriver
Jean-Pol
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