Une méthode d'estimation optimale à tout point de vue

Réponses

• LeVioloniste

  January 2023 Modifié (January 2023)

  1.
  Partons de $S_n(\theta)=\sum_{k=1}^n [f(Y_k)-g(\theta)]^2$
  Et dérivons $S_n'(\theta)=\sum_{k=1}^n -2.g'(\theta).f(Y_k) + 2.g'(\theta).g(\theta)$
  Bon dans l'énoncé $g$ n'est pas donnée comme dérivable ... on va se débarrasser de la dérivée dans les calculs mais pour moi c'est une grosse omission ...
  $S_n(\theta)=0$ ssi lorsque $g'(\theta) \neq 0$, et c'est le cas vu que g est bijective (donc monotone) $\sum_{k=1}^n f(Y_k) = n.g(\theta)$.
  Donc $g(\hat{\theta_n)}=\frac{1}{n}.\sum_{k=1}^n f(Y_k)$ puis $\hat{\theta_n}=g^{-1}(\frac{1}{n}.\sum_{k=1}^n f(Y_k))$
• LeVioloniste

  January 2023 Modifié (January 2023)

  2a. Ici ce n'est pas clair
  On va supposer que $\hat{\theta_n}$ cvg en proba vers $\theta$.

  Après on veut montrer que $\forall \epsilon > 0$, $\mathbb{P}(|\hat{\theta_n}-\theta| \geq \epsilon)$ tend vers 0 qd $n \mapsto +\infty$.
  Ou alors en caractérisant avec la variance $\lim_{n \mapsto +\infty}  \mathbb{V}(\hat{\theta_n}) = 0$.
  
• Bibix

  January 2023 Modifié (January 2023)

  Pour la 1., ce n'est pas une omission, tu vois bien que la dérivée est inutile pour le calcul. La vraie omission est l'ensemble d'arrivée de $g$ qui doit être convexe et être le même que celui de $f$. Ensuite, le TVI suffit à résoudre la question si $g$ est homéomorphe. On peut aussi résoudre sans dérivation en développant : $$\sum_{k = 1}^n (f(Y_k) - g(\theta))^2 = n g(\theta)^2 - 2 \sum_{k = 1}^n f(Y_k) g(\theta) + \sum_{k = 1}^n f(Y_k)^2 = n \left(g(\theta) - \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n f(Y_k)\right)^2 + \sum_{k = 1}^n \left(f(Y_k) - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n f(Y_i)\right)^2,$$ ce qui donne $g(\hat{\theta}_n)$.
• LeVioloniste

  January 2023 Modifié (January 2023)

  Ok donc mieux vaut faire ta méthode, qui dispense de l'utilisation de la dérivation.
  Une idée pour la question 2.?
  Je patauge.
  
• Bibix

  January 2023 Modifié (January 2023)

  Si les $f(Y_i)$ sont intégrables, il y a la loi des grands nombres. La continuité de $g^{-1}$ fournit aussi un certain $\delta(\varepsilon, \theta)$ tel que $$\mathbb{P}(|\hat{\theta}_n - \theta| \geqslant \varepsilon) \leqslant \mathbb{P}(|g(\hat{\theta}_n) - g(\theta)| \geqslant \delta(\varepsilon, \theta)).$$
  Avec ça la question 2 est pliée.
• LeVioloniste

  January 2023 Modifié (January 2023)

  Oui en fait tu exploites la continuité de $g^{-1}$ plutôt $g$ pour moi , tout simplement ! Mais bon il faut qd même détailler.

  
  

  $g$ est continue au voisinage de $a$ lorsque $\forall \epsilon >  0, \exists \alpha > 0, |x-a| < \alpha, |g(x)-g(a)| < \epsilon$.

  On prend la contraposée : $|g(x)-g(a)| \geq \epsilon$ alors $|x-a| \geq \alpha$.

  
  

  On a donc $|g(g^{-1}(\frac{1}{n}.\sum_{k=1}^n f(Y_k)))) -g(g^{-1}(\mathbb{E}(f(Y))))| \geq \epsilon$ alors $|\hat{\theta_n}-\theta)| \geq \alpha$.

  
  

  On utilise la loi des grands nombres ici, justifiée par l'existence du moment d'ordre 1 des $Y_i$.

  
  

  $\frac{1}{n}.\sum_{k=1}^n f(Y_k)) \mapsto_{n -> +\infty} \mathbb{E}(f(Y))$ ps.
  

  
  

  En passant aux probas,  (la cvg ps donne la cvg en probas) d'où $\mathbb{P}(|\hat{\theta_n}-\theta)| \geq \alpha) \mapsto_{n -> +\infty} 0$

  
  

  Je n'aime pas ma rédaction, c'est trop artificiel. D'un autre côté ce que propose Bibix n'est pas détaillé et je veux bien rédiger.

  Qui fait mieux ?