Suite d'intégrales 17 janvier 2023

Jlapin, comment obtiens-tu cette ipp ? 

Cette intégrale peut se calculer. On n'a pas besoin de se limiter à des entiers pairs et je préfère prendre l'opposé pour avoir une valeur positive.

Je pose pour $n\in\N$ : $J_n=\displaystyle\int_0^\infty \frac{x^n-\sin^nx}{x^{n+2}}dx$    ($J_0$ est nul).
Comme l'a écrit JLapin on obtient avec une IPP la récurrence $(n+1)J_n=(n-1)J_{n-2}+nI_n$ où $I_n=\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin^nx}{x^n}dx$.
Dans le lien rappelé par JLapin j'ai donné le résultat : $I_n=\displaystyle\frac{\pi}{2^n(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(n-2k)^{n-1}$.
Très curieusement on a presque la même formule : $J_n=\displaystyle\frac{\pi}{2^n(n+1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(n-2k)^{n+1}$.
Edit : il y a une explication très simple, la démonstration de la formule pour $J_n$ est la même que celle pour $I_n$.
On effectue des intégrations par partie jusqu'à arriver à un dénominateur égal à $x$ (sans calculer les dérivées successives) puis on linéarise la puissance de $\sin x$ pour la dériver facilement et on termine en utilisant l'intégrale de Dirichlet.
Comme on dérive deux fois de plus pour $J_n$ on fait apparaitre $(n-2k)^{n+1}$ à la place de $(n-2k)^{n-1}$.

J'avais déjà étudié cette intégrale en octobre 2021 dans le fil : Une intégrale intéressante (je l'avais appelée $K_n$)

L'intégrale de $1$ à $+\infty$ est clairement majorée par $2$.
Dans l'intégrale de $0$ à $1$ j'ai posé $t=x\sqrt n$ pour la mettre sous la forme $\sqrt n\displaystyle\int_0^{+\infty}f_n(t)dt$ avec $f_n(t)=0$ pour $t>\sqrt n$.
On a facilement $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(t)=\dfrac{1-e^{-t^2/6}}{t^2}$ et la domination de $f_n$ sur $[1,+\infty[$.
Pour dominer $f_n$ sur $]0,1]$ j'ai utilisé $\dfrac{\sin x}x\geqslant 1-\dfrac{x^2}6$ et $2u+\ln(1-u)\geq0$ pour $u\in[0,1/2]$, pour obtenir $f_n(t)\leqslant\dfrac{1-e^{-t^2/3}}{t^2}$.