Les commutants des commutants d'un endomorphisme
On suppose que $E = E_1 \oplus E_2$, $E$ un $\mathbb K$-ev de dimension $n$,
Soit $u\in \mathcal L(E)$ tel que $E_1, E_2$ stable par $u$, $\ C^2(u_{E_1}) = \mathbb K[u_{E_1}]$, $\ C^2(u_{E_2}) = \mathbb K[u_{E_2}]$ et $\ \mu_{u_{E_1}}\land \mu_{u_{E_2}} = 1$.
$C^2(u)$ correspond à l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec tous les commutants de $u$ (en notant $C(u)$ l'ensemble des commutants de $u$, $\ C^2(u) = \{v\in\mathcal L(E)\mid \forall w\in C(u),\ v\in C(w)\}$). $\ \mu_v$ correspond au polynôme minimal de $v$.
Il faut montrer que $C^2(u) = \mathbb K[u]$.
Je sais que lorsque $v$ est nilpotent d'ordre $n$, on a $\mathbb K[v]= C^2(v)$. On me donne l'indication de regarder si $E_1$ et $E_2$ sont stables pour tout $v\in C(u)$. Je suis déjà bloqué à cette indication.
Soit $u\in \mathcal L(E)$ tel que $E_1, E_2$ stable par $u$, $\ C^2(u_{E_1}) = \mathbb K[u_{E_1}]$, $\ C^2(u_{E_2}) = \mathbb K[u_{E_2}]$ et $\ \mu_{u_{E_1}}\land \mu_{u_{E_2}} = 1$.
$C^2(u)$ correspond à l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec tous les commutants de $u$ (en notant $C(u)$ l'ensemble des commutants de $u$, $\ C^2(u) = \{v\in\mathcal L(E)\mid \forall w\in C(u),\ v\in C(w)\}$). $\ \mu_v$ correspond au polynôme minimal de $v$.
Il faut montrer que $C^2(u) = \mathbb K[u]$.
Je sais que lorsque $v$ est nilpotent d'ordre $n$, on a $\mathbb K[v]= C^2(v)$. On me donne l'indication de regarder si $E_1$ et $E_2$ sont stables pour tout $v\in C(u)$. Je suis déjà bloqué à cette indication.
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Réponses
Je pense que l'hypothèse sur $\mathbb K[u_2] = C^2(u_2)$ peut être utile.
Par le lemme des noyaux, on peut en déduire que $\mu_1\mu_2$ est un polynôme annulateur de $u$. Seulement, je ne vois pas pourquoi cela m'aide. J'ai cette information depuis le départ car $(\mu_1\mu_2(u) = \mu_1(u) \circ \mu_2(u))$.
Est-ce que je gagne quelque chose en montrant l'égalité $E_1 = \text{Ker}(\mu_1(u))$ et que $E_2 = \text{Ker}(\mu_2(u))$ ?
Du coup, on a : $\forall v\in C(u),\ v(E_i)\subset E_i$. Après ça, je pensais utiliser le fait que $C^2(u)\subset C(u)$. Donc on a la stabilité dans $C^2(u)$.
Soit $v\in C^2(u)$,
Sans perte de généralité, soit $w\in C(u_1)$. On pose $\phi : x\mapsto w \circ (\pi_2\mu_2)(u)(x)$. C'est intéressant car c'est une projection !
On peut montrer que $\phi\in C(u)$ et qu'à partir de ça $v_1\in C(w)$.
On a montré que $\forall (w,w')\in C(u_1)\times C(u_2),\ v_1\in C(w)$ et $v_2\in C(w')$.
Seulement, je n'arrive pas à amener $\mathbb K[u]$. Une idée ?
On observe que :
$v=v_1\circ \pi_2\mu_2(u) + v_2\circ \pi_1\mu_1(u)=\rho_1(u)\circ \pi_2\mu_2(u) + \rho_2(u)\circ \pi_1\mu_1(u)$ car $\pi_i\mu_i(u)$ sont des projecteurs sur $E_{3-i}$
Donc : $v = (\rho_1\pi_2\mu_2 + \rho_2\pi_1\mu_1)(u)$ ! D'où $v\in \mathbb K[u]$.
Ainsi : $C^2(u) = \mathbb K[u]$.
Reste une situation délicate : une a.l. linéaire nilpotente d'ordre strictement plus petit que la dimension. La façon de faire que je connais utilise la jordanisation.
Vu que je ne connais pas la jordanisation, je me demande comment cela pourrait marcher face à cette nouvelle situation de matrice nilpotente d'ordre strictement plus petite que la dimension.
Cela a l'air très intriguant !