Exercice d'algèbre linéaire

khaoula · January 2023

gerard0 · January 2023

Bonjour
Merci d'avoir partagé cet énoncé.

NB. Lire la charte du forum.

julian · January 2023

Commence par le degré 2, pour voir... D'ailleurs, sais-tu ce qu'est une base ?

khaoula · January 2023

Résolvez la première question, mais les deuxième et troisième questions, je ne sais pas comment résoudre

j'espère que ma solution est correcte

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stfj · January 2023

1) * c'est bon. Je ne sais pas si cela te sera utile mais on peut écrire tes vecteurs $(-1,1,0,0,0), (-1,0,1,0,0), (-1,0,0,1,0), (-1,0,0,0,1)$ dans la base canonique de $\mathbb R_4[t]$, ce qui fournit un argument matriciel $\left(\text{matrice triangulaire}\begin{bmatrix}-1 &1 &0 &0&0 \\ -1&0 &1 & 0&0 \\-1 & 0 &0 &1&0 \\-1 & 0 & 0 & 0&1\end{bmatrix}\right)$ équivalent à celui que tu as fourni : "degrés différents";
** j'ai lu en diagonale mais ça m'a l'air bon. Une façon matricielle de procéder qui revient au même que la tienne (je ne sais pas si tu connais les calculs de rangs) est :

rang$\begin{bmatrix}1 & 0 &1 & -1 \\0 & 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0 \\ 1& 1 & 1& 0\end{bmatrix}$=rang$\begin{bmatrix}1 & 0& 1& -1 \\0 & 1 & 0& 1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1& 0 & 1\end{bmatrix}$=rang$(v_1,v_2,v_3)=3$.

C'est la version moderne actualisée du pivot de Gauss, qui fournit comme base $(v_1,v_2,v_3)$

stfj · January 2023

2. On peut déjà remarquer que $w=v_2-v_4+v_3=(t+t^3)-(1+t+t^2)+t^2=t+t^3-1-t-t^2+t^2=t^3-1\in U\cap V$.
3. Soit $u_n=t^n-1, 1\leq n \leq 4$. On a vu que $(u_i)$ est une base de $U$ avec donc dim$U$=4. Or $v_1 \notin U$ par exemple. Donc $U+V=E$. En utilisant alors dim$U+V=$dim$U$+dim$V$-dim$U\cap V$, on obtient $5=4+3-$dim$U\cap V$. Donc dim$U\cap V=2$ et il suffit pour finir de répondre à la question 2 de trouver un autre vecteur de $U\cap V $ n'appartenant pas à $(w)$.

Exercice d'algèbre linéaire

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