Nombre d'or : du carré au pentagone

jelobreuil · January 2023

Bonne nuit à tous,

Cette figure pourrait-elle intéresser quelques collégiens ?

Avec pour centre le milieu M du côté supérieur CD du carré ABCD, on trace un demi-cercle de rayon MA = MB, qui coupe la droite CD en deux points F (du côté de C) et G. Trois (H, J et K) des points d'intersection deux à deux des quatre arcs de cercle de centres C, D, C et D et de rayons respectifs CD, DC, CG et DF sont les sommets du pentagone régulier de côté CD (le quatrième et dernier (I) point d'intersection est le sommet du triangle équilatéral de côté CD).

Tout repose sur le fait que, si l'on pose CD = 1, alors CG = phi ...

Il me semble que cette construction du pentagone régulier est la plus simple à mettre en œuvre. Qu'en pensez-vous ?

Bien cordialement, JLB

Rescassol · January 2023

Bonjour,

Oui, Jelobreuil, mais tu pourrais mettre les noms des points sur ta figure.

Cordialement,
Rescassol

Médiat_Suprème · January 2023

Si, si, il y a plus simple : faire un nœud simple avec un ruban plat (papier par exemple)

Ludwig · January 2023

C'est une belle figure symétrique qui mérite d'être reproduite en classe de sixième. Une justification est possible en troisième, guidée par quelques questions. Mais c'est un peu long et un difficile.

jelobreuil · January 2023

Bonjour à tous,

Merci de vos commentaires !
@Rescassol, oui, je m'excuse, j'ai pris par inadvertance une version de ma figure sans les noms des points, et j'ai eu la flemme de la remplacer ... Je vais le faire tout de suite !
@Ludwig, en troisième seulement, la justification ? un peu longue et difficile ? Il est vrai que je ne connais rien des programmes actuels, mais là, tu m'étonnes un peu, quand même ...

Bien cordialement, JLB

Ludwig · January 2023

Je suis curieux de voir comment tu procèdes pour justifier ta construction jelobreuil. En troisième aujourd'hui en gros tu as Thalès, Pythagore, la trigo, la somme des angles dans un triangle, le triangle isocèle est bien connu, le triangle équilatéral, le carré, etc.. mais le théorème de l'angle inscrit par exemple a disparu. Peu voire pas de calculs avec des racines carrées, bon, mais mettons qu'on peut les faire.

jelobreuil · January 2023

Bonsoir @Ludwig,

Ah oui, d'accord, avec un programme ou des connaissances de géométrie aussi basiques, c'est sûr qu'on ne peut guère aller loin ...Mais il est vrai que "de mon temps", en troisième, on n'étudiait pas le pentagone régulier, pas plus que maintenant ! Et je viens de le revoir, même du temps de mon père (dont j'ai récupéré les livres de classe de maths qu'il avait conservés), à la fin des années 30, les polygones réguliers n'était vus qu'en seconde ...
Une justification possible de ma construction débute par l'application du théorème de Pythagore au triangle AMD, qui donne, si l'on prend pour unité la longueur du côté du carré, (rac5)/2 pour la longueur de MA. Comme MG = MA, et CM = CD/2, on a tout de suite CG = phi. Il faut donc savoir, et donc avoir entendu dire au prof, que dans un pentagone régulier, le rapport entre la longueur d'une diagonale et celle d'un côté vaut le nombre d'or, avec bien entendu la valeur de celui-ci. Ce qui n'est clairement pas au programme des troisièmes ...
Peut-être pourrait-on intéresser certains ados ayant un goût pour le dessin en leur présentant ceci comme un bon moyen de faire des étoiles régulières ?

Ci-dessous une variante de ma construction.

Bien cordialement, JLB