Préambule : pour le moment, je n'y arrive pas... Décidément, je suis beaucoup moins à l'aise en analyse.
1ère partie :
1. Pas de problème, question triviale. L'énoncé pourrait préciser que la fonction n'est pas définie en $1$ tout de même. Je ne suis pas fan de la formulation.
2. a) Je dirais que cette intégrale est définie pour tout $a \in [0;b[$ et pour tout $b<1$ . En effet, en $0$ , $|\dfrac{1}{\ln x}|=o(\dfrac{1}{\sqrt x})$ et $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{\sqrt x} \, \mathrm{d}x$ converge (intégrale de Riemann) .
Par contre, en $1$ , $\dfrac{1}{\ln x} \sim \dfrac{1}{x-1}$ et $\displaystyle \int_{0,5}^{1} \dfrac{1}{x-1} \, \mathrm{d}x$ diverge. Donc il y a divergence en $1$ donc $b<1$ .
b) Déjà, $a>1$ car il y a divergence en $1$ . Ensuite, en $+\infty$, $\dfrac{1}{\sqrt x}=o \left (\dfrac{1}{\ln x} \right)$ et $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt x} \, \mathrm{d}x$ est divergente (intégrale de Riemann) donc $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{\ln x} \, \mathrm{d}x$ diverge et on conclut que l'intégrale de cette question n'est pas définie...
3. a) Un calcul rapide montre que $f_0(x) \sim \dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$ en $0^+$ (expression de droite obtenue en dérivant $x \longmapsto \dfrac{x}{\ln x}$). De plus, on sait que pour $x<1$, $\displaystyle \int_{0}^{x} f_0(t) \, \mathrm{d}t$ converge . Donc d'après le premier point du préambule, on a le résultat voulu.
b) On rappelle qu'en $1$ , $\dfrac{1}{\ln x} \sim \dfrac{1}{x-1}$ . De plus, on a vu qu'il y a divergence de l'intégrale de $f_0(t)$ en $1$. Donc on a le résultat voulu grâce au deuxième point du préambule. (Oui, ici , je rédige "à l'arrache" : promis, je m'appliquerai lors du concours ! ^^' )
c) L'équivalent de 3). a) nous permet de conclure qu'il y a (absolue) convergence de $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} f_1(t) \, \mathrm{d}t$ car $|\dfrac{x}{\ln x}|= o \left(\dfrac{1}{\sqrt x} \right)$ en $0$.
L'équivalent de 3. b) nous permet de conclure qu'il y a convergence de $\displaystyle \int_{0,5}^{1} f_1(t) \, \mathrm{d}t$ en étudiant les primitives de $x \longmapsto \ln(x-1)$ et $x \longmapsto \ln(1-x)$ qui se prolongent par continuité en $1$ .
En réutilisant la divergence de l'intégrale, $lim_{x \mapsto b} \frac{\int_{[a,c]} |f-g|}{\int_{[c,x]} f}=0$ donc $\exists d \in [a,b[, \forall x \in [d,b[, \int_{[a,c]} |f-g| \leq \epsilon.\int_{[c,x]} f$.
Ce qui permet de transformer $ |\int_{[a,x]} f-g | \leq \int_{[a,c]} |f-g| + \epsilon.\int_{[c,x]} f$ en $ |\int_{[a,x]} f-g | \leq 2\epsilon.\int_{[a,x]} f$ lorsque $x \geq sup\{c,d\}$.
Donc $ \int_{[a,x]} f-g = o_b( \int_{[a,x]} g)$ ce qui correspond à $\int_{[a,x]} f \sim_{x \mapsto b} \int_{[a,x]} g$.
Pour un préambule franchement ... C'est difficile non ?
1. C'est facile. $f_0$ définie sur $]0;+\infty[-\{1\}$. Sa fonction dérivée vérifie $f_0'(x)=-\frac{1}{x.(ln(x)^2}$. Notons qu'on peut la prolonger en 0 par continuité. $D=[0,1[ \cup ]1;+\infty[$. Ainsi la fx $f_0$ est décroissante sur les 2 intervalles $[0;1[$ et $]1;+\infty[$.
2a On a 2 possibilités $0<a<b<1$ ou $1<a<b$. Au voisinage de 0 : $\sqrt(x) \times \frac{1}{ln(x)} \mapsto 0$ qd $x \mapsto 0$. Donc $\frac{1}{ln(x)} = o_0(\frac{1}{\sqrt{x}})$ et donc d'après les intégrales de Riemann, on a cvg. Au voisinage de 1 : divergence car $\frac{1}{ln(x)} \sim_{x \mapsto 1} \frac{1}{x-1}$ qui diverge.
2b Il faut vérifier la cvg de l'intégrale en $+\infty$ Et on va utiliser le préambule. enfin non ... car on n'a pas d'équivalence entre la racine et le logarithme ! Par le théorème des croissances comparées, $\frac{1}{ln(x)} = o_{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}})$. Par le théorème d'intégration des relations , comme $\int_{[a,+\infty[} \frac{1}{\sqrt{x}}$ dvg alors $\int_{[a,+\infty[} \frac{1}{ln(x)}$ dvg pour $a>1$.
3a. En fait la technique est un peu une triche, on dérive la fonction équivalent proposée, on vérifie qu'elle est équivalente à l'intégrande au point considéré, puis on intègre. Ce serait plus dur si on nous demandait de trouver l'équivalent. Pour $0<x<1$, $\frac{x}{\ln(x)}$ admet pour dérivée $\frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}$ donc $\frac{x}{\ln(x)}=\int_{[0,x]} \frac{\ln(t)-1}{\ln(t)^2} dt$. On vérifie que $\frac{1}{\ln(x)} \sim_{x \mapsto 0} \frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}$, on applique le 1er préambule puisque ici on a convergence, et on vérifie aussi qu'on a même signe. Et donc $f_1(x) \sim_{x \mapsto 0} \frac{x}{\ln(x)}$.
3b. Ici c'est le cas divergent. $\frac{1}{\ln(x)} \sim_{x \mapsto 1} \frac{1}{x-1}$ (ici sans tricher) On intègre la relation de comparaison et $\int_{[0,x]} \frac{1}{\ln(t)} dt \sim_{x \mapsto 1^-} \int_{[0,x]} \frac{1}{t-1} dt$ donc $f_1(x) \sim_{x \mapsto 1^-} \ln|x-1|$. D'ailleurs l'étude en $1^+$ est-elle nécessaire car pour moi l'énoncé est ambiguë ... On mentionne $0^+$ et pour $1$ on ne dit rien.
3c. Les équivalents en 0 et 1 ont des limites finis et donc l'intégrale converge.
4a. Une IPP (licite) s'impose ici : Si on pose $u=f_1(t)$ et $v'=1$, alors $f_2(x)= \int_{[0,x]} f_1(t) dt = [t.f_1(t)]_0^{x} - \int_{[0,x]} t.f_0(t) dt = x.f_1(x) - \int_{[0,x]} \frac{t}{\ln(t)} dt$. Après il faut être malin, $[(\ln(\ln(t))]'=\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{\ln(t)}$, mais cela ne me donne rien, et je ne vois pas de primitive de $t.\frac{1}{\ln(t)}$.
Par le théorème des croissances comparées, $\frac{1}{\ln(x)} = o_{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}})$.
ça c'est faux je crois : c'est le contraire (voir ce que j'ai écrit plus haut) et c'est le contraire qui permet de conclure quant à la divergence de l'intégrale.
Merci pour les autres questions notamment le préambule !
Bon qui m'aide pour la 4a ? L'IPP me semble être la seule piste ! Si on réintègre par parties on a une intégrale avec du $1/\ln(t)^2$ donc ça régresse. Cela doit être qqchquelque chose de simple.
Puis $\int_0^x \frac{1}{\ln(t)}-\frac{1}{t-1} dt = f_1(x) - \ln|x-1|$.
Donc $\lim_{x \mapsto 1} f_1(x) - \ln|x-1| = 0$. D'où la cvg.
5b. L'existence provient de la continuité des fonctions à intégrer et du fait que les problèmes en 0 et 1 ont déjà été traités en 2a. On est dans les cas $(a,b)=(0,1-h)$ avec $h<1$ comme condition et $(a,b)=(1+h,2)$ qui sont des cas de convergences de l'intégrale. $\int_0^{1-h} \frac{1}{\ln(t)} dt = f_1(1-h)$. Ceci admet une limite avec 3b.
$\int_{1+h}^{2} \frac{1}{\ln(t)} dt = \quad?$
$\frac{1}{\ln(1+h)}=\frac{1}{h+o_0(h))}$ et $1/x$ est intégrable au voisinage de 0 donc la limite de l'expression existe.
6a. Pour une série alternée, le critère de convergence suffisant est que $u_n$ cvg vers 0 en décroissant. Déjà pour $n=0$, $u_0=0$. Pour $n \geq 1$, $u_n$ existe lorsque la borne supérieure $n^\beta$ est telle que $0<n^\beta<1$. Donc $\beta\ln(n)<0$ donc $\beta<0$ est une condition nécessaire. J'ai un doute sur la question, les conditions sont plutôt sur $\alpha$ et $\beta$, parce que n est un entier naturel. Si cette condition est vérifiée, $\int_0^{n^\beta} f_0(t) dt \sim_1 \ln(1-n^\beta) \sim_1 -n^\beta$. La question de la convergence ne semble pas posée, juste la définition. La condition est suffisante : si $\beta<0$ alors $0<n^\beta<1$ pour $n \geq 1$ puis l'intégrale $\int_0^{n^\beta} f_0(t) dt$ existe.
D'où viennent les exos postés ? La typo me dit quelque chose. (C'est la même source dans les autres fils ?) J'ai juste survolé, pour la 4a, après IPP, forcer l'apparition du 1/t au numérateur ?
Réponses
Des questions théoriques puis pratiques c'est dans l'esprit du concours.
$f_0$ définie sur $]0;+\infty[-\{1\}$.
Sa fonction dérivée vérifie $f_0'(x)=-\frac{1}{x.(ln(x)^2}$.
Notons qu'on peut la prolonger en 0 par continuité. $D=[0,1[ \cup ]1;+\infty[$.
Ainsi la fx $f_0$ est décroissante sur les 2 intervalles $[0;1[$ et $]1;+\infty[$.
Au voisinage de 0 : $\sqrt(x) \times \frac{1}{ln(x)} \mapsto 0$ qd $x \mapsto 0$. Donc $\frac{1}{ln(x)} = o_0(\frac{1}{\sqrt{x}})$ et donc d'après les intégrales de Riemann, on a cvg.
Au voisinage de 1 : divergence car $\frac{1}{ln(x)} \sim_{x \mapsto 1} \frac{1}{x-1}$ qui diverge.
Et on va utiliser le préambule. enfin non ... car on n'a pas d'équivalence entre la racine et le logarithme !
Par le théorème des croissances comparées, $\frac{1}{ln(x)} = o_{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}})$.
Par le théorème d'intégration des relations , comme $\int_{[a,+\infty[} \frac{1}{\sqrt{x}}$ dvg alors $\int_{[a,+\infty[} \frac{1}{ln(x)}$ dvg pour $a>1$.
Pour $0<x<1$, $\frac{x}{\ln(x)}$ admet pour dérivée $\frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}$ donc $\frac{x}{\ln(x)}=\int_{[0,x]} \frac{\ln(t)-1}{\ln(t)^2} dt$.
On vérifie que $\frac{1}{\ln(x)} \sim_{x \mapsto 0} \frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}$, on applique le 1er préambule puisque ici on a convergence, et on vérifie aussi qu'on a même signe.
Et donc $f_1(x) \sim_{x \mapsto 0} \frac{x}{\ln(x)}$.
Ici c'est le cas divergent.
$\frac{1}{\ln(x)} \sim_{x \mapsto 1} \frac{1}{x-1}$ (ici sans tricher)
On intègre la relation de comparaison et
$\int_{[0,x]} \frac{1}{\ln(t)} dt \sim_{x \mapsto 1^-} \int_{[0,x]} \frac{1}{t-1} dt$ donc $f_1(x) \sim_{x \mapsto 1^-} \ln|x-1|$.
D'ailleurs l'étude en $1^+$ est-elle nécessaire car pour moi l'énoncé est ambiguë ... On mentionne $0^+$ et pour $1$ on ne dit rien.
Les équivalents en 0 et 1 ont des limites finis et donc l'intégrale converge.
Une IPP (licite) s'impose ici : Si on pose $u=f_1(t)$ et $v'=1$, alors $f_2(x)= \int_{[0,x]} f_1(t) dt = [t.f_1(t)]_0^{x} - \int_{[0,x]} t.f_0(t) dt = x.f_1(x) - \int_{[0,x]} \frac{t}{\ln(t)} dt$.
Après il faut être malin, $[(\ln(\ln(t))]'=\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{\ln(t)}$, mais cela ne me donne rien, et je ne vois pas de primitive de $t.\frac{1}{\ln(t)}$.
$\ln(x) = o_{+\infty}(\sqrt{x})$ alors
$\frac{1}{\sqrt{x}} = o_{+\infty}(\frac{1}{\ln(x)})$
Si on réintègre par parties on a une intégrale avec du $1/\ln(t)^2$ donc ça régresse.
Cela doit être qqch quelque chose de simple.
L'existence provient de la continuité des fonctions à intégrer et du fait que les problèmes en 0 et 1 ont déjà été traités en 2a.
On est dans les cas $(a,b)=(0,1-h)$ avec $h<1$ comme condition et $(a,b)=(1+h,2)$ qui sont des cas de convergences de l'intégrale.
$\int_0^{1-h} \frac{1}{\ln(t)} dt = f_1(1-h)$. Ceci admet une limite avec 3b.
Pour une série alternée, le critère de convergence suffisant est que $u_n$ cvg vers 0 en décroissant.
Déjà pour $n=0$, $u_0=0$.
Pour $n \geq 1$, $u_n$ existe lorsque la borne supérieure $n^\beta$ est telle que $0<n^\beta<1$. Donc $\beta\ln(n)<0$ donc $\beta<0$ est une condition nécessaire.
J'ai un doute sur la question, les conditions sont plutôt sur $\alpha$ et $\beta$, parce que n est un entier naturel.
Si cette condition est vérifiée, $\int_0^{n^\beta} f_0(t) dt \sim_1 \ln(1-n^\beta) \sim_1 -n^\beta$.
La question de la convergence ne semble pas posée, juste la définition.
La condition est suffisante : si $\beta<0$ alors $0<n^\beta<1$ pour $n \geq 1$ puis l'intégrale $\int_0^{n^\beta} f_0(t) dt$ existe.
$u_n \sim -n^{\alpha+\beta}$.
J'ai juste survolé, pour la 4a, après IPP, forcer l'apparition du 1/t au numérateur ?