Simplicité de PSL(E)
Bonjour
J'ai quelques interrogations sur ce problème consistant à montrer la simplicité de $PSL (E)$.
J'ai quelques interrogations sur ce problème consistant à montrer la simplicité de $PSL (E)$.
Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif et $E$ un espace vectoriel de dimension $n\geq 2$ sur $\mathbb{K}$.
On suppose que si $n=2$ alors $\mathbb{K} \neq \mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3$.
On suppose que si $n=2$ alors $\mathbb{K} \neq \mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3$.
1) a) Pour $n \geq 3$, calculer le commutateur $[I_n + E_{13}, I_n+E_{32}]$, où $E_{ij}$ est la matrice dont tous les termes sont nuls sauf le terme $(ij)$ qui vaut 1.
b) Pour $a \in \mathbb{K^*}$, calculer le commutateur $\left[
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right]$
c) Déterminer le groupe dérivé $D(SL(E))$.
b) Pour $a \in \mathbb{K^*}$, calculer le commutateur $\left[
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right]$
c) Déterminer le groupe dérivé $D(SL(E))$.
Mes réponses.
1a) J'ai trouvé $E_{12}$
b) J'ai trouvé la matrice nulle
c) J'imagine que je dois utiliser les commutateurs, mais de quelle façon ?
Merci pour votre aide.
Merci pour votre aide.
Réponses
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Je n'ai pas vérifié pour a), mais ta réponse pour b) est forcément fausse en général. Si le commutateur est nul c'est que ces deux matrices commutent et la deuxième devrait préserver les sous-espaces propres de la première. Or en prenant $a \neq 0, 1, -1$, ce qui est possible par hypothèse sur le corps, les espaces propres en question sont $\mathrm{Vect}(e_1)$ et $\mathrm{Vect}(e_2)$, où $(e_1, e_2)$ est la base canonique de $\mathbb K^2$, et $\mathrm{Vect}(e_2)$ n'est pas stabilisé par ta matrice de transvection à droite.
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b) La matrice nulle n'est pas inversible !
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Bonsoir IotalaDans un groupe, le commutateur de $a$ et $b$ est (par définition) $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$Ici, le groupe et $PSL(E)$, la loi de composition est la multiplication des matrices (attention pas l'addition),$a$, $b$ sont des matrices inversibles (pour être dans un groupe). Tout produit d'éléments du groupe est encore dans le groupe, donc est une matrice inversible.Tes réponses 1a) et 1b) sont donc incorrectes.Refais calmement les opérations.Alain.
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Pour 1a) j'ai bien vérifié, je trouve $E_{12}$
\begin{align*}
&[I_n+E_{13}, I_n+E_{32}] = I_n.I_n+I_n.E_{32}+E_{13}.I_n+E_{13}.E_{32}\\
&-I_n.I_n - I_n.E_{13} - E_{32}.I_n-E_{32}.E_{13}\\
= &E_{13}.E_{32} - E_{32}.E_{13}\\
= &E_{12}
\end{align*}
Pour le 1b) je suis allé un peu vite\begin{align*}
\left[
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right]
&= \begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix}
a & a \lambda \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
a & \lambda a^{-1} \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
0 & \lambda(a - a^{-1}) \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}1c) Je ne vois pas comment utiliser les commutateurs pour répondre à cette question.
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D'où sort le '$-$' placé entre les deux produits de matrices ?Alain
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BonsoirLe groupe dérivée est engendré par $\{[A,B]:A,B\in SL(E)\}$
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AD
La formule du calcul d'un commutateur n'est pas [A,B] =AB - BA ?
[Inutile de recopier l’avant dernier message. AD]
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Ben non !Relis mon premier message https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2402266/#Comment_2402266Le commutateur de $A$, $B$ est $[A,B]=A\star B\star A^{-1}\star B^{-1}$, avec la loi du groupe notée $\star$.Dans un groupe il n'y a qu'une seule loi de composition qui est utilisée. Ici c'est le produit de matrices, pas l'addition !Alain
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En lisant wikipedia, j'ai lu rapidement sans faire attention le commutateur d'un anneau.Merci beaucoup, je vais corriger.
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Je reviens sous de meilleurs auspices.1) Par définition, $[A,B] = ABA^{-1}B^{-1}$.a)\begin{align*}
[I_n + E_{13}, I_n+E_{32}] &= (I_n + E_{13}) (I_n+E_{32})(I_n + E_{13})^{-1} (I_n+E_{32})^{-1} \\
&= I_n + E_{12}
\end{align*} Pour trouver ce résultat, j'ai pris $n=3$ pour voir à quoi il va ressembler.b)\begin{align*}
\left[
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right]
&=
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix}^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1 & a^2\lambda-\lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*} -
Pour la 1c), je rassemble ce que je sais :- $SL(E)$ est le groupe des matrices inversibles de déterminants 1- Les matrices de transvection engendrent $SL(E)$- $D(SL(E))$ est le groupe engendré par les commutateurs de $SL(E)$ et d'après le Perrin $D(SL(E))=SL(E)$ (bien évidemment je ne vais pas pouvoir utiliser ce théorème directement)Ce que je ne comprends pasJe suppose que je dois prouver que les commutateurs sont aussi aussi des transvections ?À quoi me sert les deux exemples des questions précédentes ? Je ne peux pas généraliser à partir d'exemples ?
-
Quel rapport entre le résultat de 1a) avec une transvection ?Si tu reprends la question 1a), en quantifiant en $i,j, \ [I_n+E_{i,1})(I_n+E_{1,j})] = \ ?$Alain
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Je constate que le commutateur de mes deux matrices de transvection est une transvection, ce qui est déjà un bon début. Je suppose que $[I_n+E_{i,1} , I_n+E_{1,j}] = I_n+E_{i,j}$ ce qui doit se prouver par les propriétés de multiplication par une matrice de transvection et de son inverse ?Le 1 dans $E_{i,1}$ et dans $E_{1,j}$ plutôt qu'un autre nombre est indispensable afin que le commutateur soit encore une matrice de transvection ?L'exemple 1b) doit être utilisé pour le cas n=2 ? Je ne vois pas bien comment l'utiliser.
-
Le schéma de la preuve semble être :* Soit $A$ et $B$ appartenant à $SL(E)$, on a immédiatement $[A,B] \in D(SL(E))$, soit $SL(E) \subset D(SL(E)) $* Le commutateur de 2 matrices de transvections est une matrice de transvection donc $D(SL(E)) \subset SL(E)$=> On ne peut pas prendre n'importe quelles matrices de transvection (discussion plus haut) ???* Finalement $SL(E) = D(SL(E))$Est ce que je touche au but ? Quels sont les détails qui manquent à l'appel ?
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Je ne comprends pas du tout ta preuve ni de la première ni de la deuxième inclusion.
Tu devrais poser davantage les objets car pour l'instant, ton argumentation est assez floue.
Au fait, c'est quoi pour toi une "matrice de transvection" ? -
Iotala "Soit $A$ et $B$ appartenant à $SL(E)$, on a immédiatement $[A,B] \in D(SL(E))$, soit $SL(E) \subset D(SL(E)) $".NON. Sinon tout groupe serait contenu dans son sous-groupe dérivé !Et on a toujours $D(SL(E))\subset SL(E)$ puisque la multiplication est une loi interne dans $SL(E)$.En revanche tous les $I_n+E_{ij}$ sont des commutateurs (question 1a) donc le sous-groupe engendré par les $I_n+E_{ij}$ est contenu dans $D(SL(E))$.Alain
-
Merci beaucoup de votre aide
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