Famille de sphères
Etant donnés deux plans $P$ et $P'$ et un point $A$ en dehors de ces deux plans, on considère toutes les sphères qui passent par le point $A$ et qui sont tangentes aux deux plans donnés.
1° Trouver le lieu de la droite qui joint le point $A$ au centre de la sphère variable.
2° Trouver le lieu des points de contact de la sphère variable avec les plans donnés.
Réponses
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Bonjour,
Si on projette orthogonalement le tout sur le plan passant par $A$ et orthogonal à $P$ et $P'$, on est ramené à la recherche d'un cercle passant par un point et tangent à deux droites, problème qui n'a qu'un nombre fini de solutions..
Cordialement,
Rescassol
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Mon cher RescassolTu fais bien d'employer le conditionnel!Amitiéspappus
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Bonjour à tousPremière indication:C'est un problème de Concours Général de la classe de Mathématiques élémentaires!Amicalementpappus
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Bonjour
Voici le mieux que je puisse dire pour l'instant.En général : le lieu de la droite qui joint le point $A$ au centre de la sphère variable est un cône.Ceux des points de contact de la sphère avec les plans sont deux cercles. -
Merci Arguesien
Bravo c'est vrai!
Peux-tu me préciser le genre du cône exactement ?
Je me méfie beaucoup depuis une discussion récente faisant intervenir des cônes !
Amicalement
pappusPS
As-tu utilisé une transformation pour trouver cela ou bien as-tu raisonné plus élémentairement ? -
Bonjour à tousDeuxième indication:On peut lire la solution dans la collection La PléiadeAmicalementpappus
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pappus a dit :[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]J'ai considéré le lieu des points équidistants à $A$ et l'un des deux plans. Il s'agit d'une paraboloïde de révolution, que j'ai fait intersecter avec un autre plan. L'intersection se trouve alors être une ellipse dont la projection sur n'importe quel des deux plans $P$ et $P'$ est un cercle.Toutefois, n'ayant pas fait beaucoup de géométrie dans l'espace, c'est par le calcul que j'ai pu déduire qu'il s'agit d'un cercle.
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Merci ArguesienTu ne m'as pas dit de quel genre de cône il s'agissait exactement.Ton argument me semble original et différent de celui de l'auteur de la solution publiée dans la collection La Pléiade avec l'ensemble de son œuvre pour laquelle il a obtenu quand même un prix Nobel.Lui aussi a raisonné élémentairement.J'ai lu sa solution un peu en diagonale et il me semble qu'à un moment il parle lui aussi de paraboloïde, ce qui me parait étrange de la part d'un élève de la classe de Mathématiques Elémentaires mais peut être avait il un bon professeur au Lycée Condorcet qui s'appelait Lycée Fontanes à cette époque.Pour retrouver ces résultats, on peut utiliser une transformation du Lebossé-Hémery dont on peut se douter qu'elle est défunte aujourd'hui.C'est bizarre que notre Prix Nobel ne l'ait pas utilisée mais sans doute n'était-elle pas encore au programme à son époque?Amicalementpappus
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Bonsoir à tousTroisième indication:Quand la Philosophie vient au secours de la défunte géométrie!Amicalementpappus
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Bonjour à tousLa transformation en question est évidemment (?) l'inversion dont plus personne aujourd'hui n'a le début du commencement de l'idée de son existence!Amicalementpappus
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Bonjour à tousMotus et bouche cousue!Surtout ne pas faire de vagues.On fait une inversion de pôle $A$ transformant les plans $P$ et $P'$ en deux sphères sécantes $S$ et $S'$ passant par $A$.La sphère variable $\Sigma$ passant par $A$ et tangente aux plans $P$ et $P'$ est transformée en un plan $\Pi$ tangent aux sphères $S$ et $S'$ et on conclut!En fait ce petit exercice se résolvait ainsi très facilement!Mais bof, il nous reste les axiomes de Thalès et de Pythagore pour faire semblant de nous occuper!Amicalementpappus
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Bonjour à tousHenri Bergson (18-10-1859, 3-01-1941) car il s'agit bien de lui, n'était sans doute pas peu fier de sa copie du Concours Général de 1877 pour l'insérer dans ses œuvres complètes.Il va sans dire qu'il obtint aussi le premier prix pour le Concours Général de la classe de Première de l'année précédente sur un problème consacré aux sections du cube par un plan orthogonal à une grande diagonale!Amicalementpappus
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