Les limites

elmahdikaref · January 2023

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Salut .. s'il vous plait .. j'ai besoin d'aide .. merci d'avance.

raoul.S · January 2023

Indication : tu peux réécrire ton expression comme ça : $\dfrac{f(a+t^2)-f(a)+f(a)-f(a+t)}{t}$

PS. tu aurais dû ouvrir ce fil dans Analyse, pas Algèbre...

[Discussion déplacée. AD]

elmahdikaref · January 2023

Malheureusement, je n'ai pas encore trouvé de solution

NicoLeProf · January 2023

Suite de l'indication donnée par raoul, tu peux continuer à réécrire ton expression pour faire apparaître des taux d'accroissement : $\dfrac{f(a+t^2)-f(a)}{t}+\dfrac{f(a)-f(a+t)}{t}=t \left(\dfrac{f(a+t^2)-f(a)}{t^2} \right)+\dfrac{f(a)-f(a+t)}{t}$ .

Il ne te reste plus qu'à étudier les deux termes de cette somme et de faire tendre $t$ vers $0$ pour conclure ! Il s'agit d'une application de la définition de la dérivabilité de la fonction $f$ en $a$ .

elmahdikaref · January 2023

$\dfrac{f(a+t^2)-f(a)}{t}+\dfrac{f(a)-f(a+t)}{t}=t \left(\dfrac{f(a+t^2)-f(a)}{t^2} \right)+\dfrac{f(a)-f(a+t)}{t} \quad= f'(a)×(t-1) \quad ?$

Dom · January 2023

Si on fait tendre $t$ vers quelque chose… pourquoi reste-t-il ce $t$ dans la réponse ?

elmahdikaref · January 2023

🤭🤭 j'ai oublié. Pardon
$=-f'(a)$

elmahdikaref · January 2023

Merci @NicoLeProf @Dom @raoul.S

gerard0 · January 2023

$\newcommand{\e}{\varepsilon }$Bonjour.

$f$ étant dérivable en $a$, il existe une fonction $\e$ qui tend vers $0$ en $0$ et telle que $f(a+t) = f(a) + t f'(a) +t\e(t) \quad(*)$.
On en déduit que $f(a+t^2) = f(a) + t^2 f'(a) +t^2\e(t^2)$.

Alors :

$\displaystyle \frac{f(a+t^2) - f(a+t)}t =\frac{f(a) + t^2 f'(a) +t^2\e(t^2) - ( f(a) + t f'(a) +t\e(t) )}t =(t-1)f'(a) + t\e(t^2)-\e(t)$

Et on fait tendre $t$ vers $0$.

Cordialement.
(*) définition, ou conséquence immédiate de la définition.

NicoLeProf · January 2023

elmahdikaref a dit :

$\dfrac{f(a+t^2)-f(a)}{t}+\dfrac{f(a)-f(a+t)}{t}=t \left(\dfrac{f(a+t^2)-f(a)}{t^2} \right)+\dfrac{f(a)-f(a+t)}{t} \quad= f'(a)×(t-1) \quad ?$

Par contre non, tu n'écris pas cela, il n'y a pas égalité ici : la dernière égalité est fausse ! ^^' Il faut soigner la rédaction maintenant : la fonction $f$ est dérivable en $a$ donc $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f(a+t)-f(a)}{t} = f'(a)$ donc $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f(a)-f(a+t)}{t} = -f'(a)$ .

De plus, $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f(a+t^2)-f(a)}{t^2} = f'(a)$ car $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$ en posant $h=t^2$ qui tend vers $0$ lorsque $t$ tend vers $0$ et réciproquement etc.

Ah oui, j'aime bien la méthode proposée par gerard0 aussi, j'y ai pensé également ! ^^'

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