Triangle et angle « inscrit » par le centroïde

Bonjour,

Un angle inscrit est inscrit dans l'unique cercle de la figure, quand il n'y a pas d'ambiguïté, quelque soit ce cercle, sinon, il faut préciser dans quoi il est inscrit.
Sur ta figure, ce terme n'est pas adapté.
De même, on devine que $[ABC]$ doit être l'aire du triangle, mais ce n'est pas une notation standard.
Enfin, en français, on ne dit pas "centroïd".

Cordialement,
Rescassol
 
PS: Tu aurais simplement pu dire l'angle $\widehat{BGC}$.

Bonjour,

Je ne parlais pas du tréma, mais du mot. En français, on dit "centre de gravité".
Mais bon, je ne vais pas me battre pour ça.
Voilà une preuve.
Je peux éventuellement fournir ma fonction "Distance2", mais on peut aussi calculer $BG$ et $CG$ par le théorème de la médiane.

% Gipsy - 17 Janvier 2023 - Triangle et angle « inscrit » par le centroïde

% Montrer que cot θ = ⅓︎ cot α - ⅓︎ a² / [ABC]

clc, clear all, close all

syms a b c S real % Longueurs des côtés du triangle ABC et son aire S

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

G=[1; 1; 1]; % Centre de gravité du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

% On sait que S=[ABC]=sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c))/4
% Donc (a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c)=16*S^2

% On sait que a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosA et que cot^2(A)=cos^2(A)/sin^2(A)
cosA=Factor((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)); % cos(A)
cot2A=Factor(cosA^2/(1-cosA^2)); % cot^2(A)
% On trouve cot2A=(-a^2+b^2+c^2)^2/((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c))
% Donc cot2A=(-a^2+b^2+c^2)^2/(16*S^2) et:
cotA=(-a^2+b^2+c^2)/(4*S);

BG2=Distance2(B,G,a,b,c); % On trouve BG^2=(2*a^2-b^2+2*c^2)/9
CG2=Distance2(C,G,a,b,c); % et CG^2=(2*a^2+2*b^2-c^2)/9
cos2BGC=Factor((BG2+CG2-a^2)^2/(4*BG2*CG2)); % cos^2(BGC)
cot2BGC=Factor(cos2BGC/(1-cos2BGC)); % cot^2(BCG)
% On trouve cot2BGC=(-5*a^2+b^2+c^2)^2/(9*(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c)
% Donc cot2BGC=(-5*a^2+b^2+c^2)^2/(9*16*S^2) et:
cotBGC=(-5*a^2+b^2+c^2)/(3*4*S);

X=cotBGC - (cotA - a^2/S)/3; % X = cot θ - (⅓︎ cot α - ⅓︎ a² / [ABC])
Nul=Factor(X) % Égal à 0, donc c'est gagné.

Cordialement,
Rescassol