Deux entiers naturels toujours distincts ?
dans Arithmétique
Bonjour,
Soit $\sigma_1$, un entier naturel impair différent de $1$ exprimé sous la forme $\sigma_1 = 2^p \times 3^q \times W - 1$,
$\phantom{.....}$où :
$\phantom{.....} p =$ un entier naturel non nul,
$\phantom{.....} q =$ un entier naturel,
$\phantom{.....} W =$ un entier naturel impair et premier avec $3$.
(Par exemple, $15 = 2^4 \times 3^0 \times 1 - 1$.)
Est-il possible de démontrer que l'entier naturel impair $\sigma_2 = \dfrac{3^{p+q}\times W - 1}{2^{\Delta}}$,
$\phantom{.....}$où :
$\phantom{.....}2^{\Delta}$ représente la plus grande puissance de $2$ (à exposant entier strictement positif) capable de diviser $3^{p+q}\times W - 1$,
est toujours différent de $\sigma_1$ ?
Merci d'avance.
Soit $\sigma_1$, un entier naturel impair différent de $1$ exprimé sous la forme $\sigma_1 = 2^p \times 3^q \times W - 1$,
$\phantom{.....}$où :
$\phantom{.....} p =$ un entier naturel non nul,
$\phantom{.....} q =$ un entier naturel,
$\phantom{.....} W =$ un entier naturel impair et premier avec $3$.
(Par exemple, $15 = 2^4 \times 3^0 \times 1 - 1$.)
Est-il possible de démontrer que l'entier naturel impair $\sigma_2 = \dfrac{3^{p+q}\times W - 1}{2^{\Delta}}$,
$\phantom{.....}$où :
$\phantom{.....}2^{\Delta}$ représente la plus grande puissance de $2$ (à exposant entier strictement positif) capable de diviser $3^{p+q}\times W - 1$,
est toujours différent de $\sigma_1$ ?
Merci d'avance.
Réponses
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Je ne trouve pas de contre-exemple avec $p,q<50$ et $W<15\,000$ (à part $p=1$, $q=0$ et $W=1$, qui donne $\sigma_1=1=\sigma_2$).
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Cela revient à dire que pour tout $p,q, \Delta$, on a $3^{-q-1} 2^{-p} (1 + \frac{3^p - 2^p}{2^{p + \Delta} - 3^p})\notin \mathbb{N}$. Personnellement, je ne pense pas que cela marche, mais il faudrait tester pour $p = 800$ par exemple (pour avoir un maximum de candidats), ce qui n'est pas possible facilement.Edit : Et bien si, je me suis trompé, on peut le montrer (cf. en dessous).
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Bonjour
Si $p<1,7 \times 10 ^{10}$, alors $\sigma _1 \neq \sigma _2$, je crois savoir.
Cordialement
Paul -
Ceux qui cherchent risquent de chercher longtemps... trouver un contre-exemple avec $\sigma_1=\sigma_2$ signifie prouver qu'il existe un cycle non trivial dans Syracuse.
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Ah, très bien, on peut arrêter les frais alors...
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On s'en doutait un peu mais merci pour l'avertissement.
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En fait, $\sigma _1$ n'existe pas qui égale $\sigma _2$.
Comme Raoul j'ai reconnu la ficelle qui veut dissimuler Syracuse, mais prouver que $\sigma _1\neq \sigma _2$ est bien plus simple que prouver qu'il n'y a pas de cycle non trivial. En effet, le cycle que Sneg propose sans le citer est très spécial: c'est une montée (de $p$ étages) puis une descente (de $1$ étage).
Et ce cas particulier de cycle (on l'appelle un "circuit") n'existe pas.
Plus précisément, il n'existe aucun circuit: ça a été prouvé en 1978 par R.P. Steiner.
Ne me demandez évidemment pas la démonstration!
Référence: Wirsching, Lectures Notes, page 22. -
Je ne savais pas. Intéressant.
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Faute de (pouvoir) contribuer mathématiquement, je précise la référence : The Dynamical System Generated by the 3n+1 Function par Günther J. Wirsching, Springer, Lecture Notes in Mathematics 1681.
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Bien joué Sneg 😏😏😏
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Merci à chacun de vous pour son intervention.
Si j'ai évité de parler de Syracuse dans mon message initial, ce n'était pas pour dissimuler mes intentions ou vous piéger, mais simplement pour éviter d'en rajouter une couche avec cette conjecture qui irrite parfois.
D'ailleurs, quand j'ai lu que Math Coss, que je remercie, avait effectué des tests, j'ai voulu intervenir pour lui parler du lien avec Syracuse, mais n'en ai pas trouvé le temps.
Comme l'a écrit depasse, le problème des éventuels cycles non triviaux dans la conjecture de Syracuse est un problème encore plus compliqué que celui qui fait l'objet de ce fil. En effet, supposons prouvées les inégalités $\sigma_1 \neq \sigma_2$ et $\sigma_2 \neq \sigma_3$, comment prouver maintenant que $\sigma_1 \neq \sigma_3$ ?
Grand merci à depasse (Édit : ainsi qu’à Math Coss) pour la référence de lecture (j'ignorais le terme "circuit").
Bonne année 2023 à tous. -
Légère rectification de vocabulaire: j'ai nommé, à tort, simplement "circuit" ce qu'on devrait appeler "circuit-cycle". En effet, un "vrai circuit" n'est autre qu'une montée suivie d'une descente. Ce que dit donc Steiner c'est qu'il n'existe pas de circuit-cycle (hormis le trivial 1,2,1).
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Une dernière remarque :
Il y a d’autant moins de « dissimulation » de ma part que ce dont je parle dans ce fil a déjà été évoqué en toutes lettres (et symboles) dans mon fil intitulé « Conjecture de Syracuse - Sneg » (voir la rubrique Shtam) à la page 20.
:-) -
Sur HAL, l'article de Luc-Olivier Pochon et Alain Favre intitulé "La suite de Syracuse, un monde de conjectures" mentionne à la page 46 :"R. P. Steiner (1978, [111]), en utilisant $T$, considère les cycles (1-cycle) constitués d'une phase ascendante (donc des nombres impairs) suivis d'une phase descendante (de nombres pairs) (appelés des circuits). Il démontre que le seul cycle de ce type est (1, 2)."l'expression "en utilisant $T$" signifie ici :"En application des deux règles suivantes :- Si $m$ est pair, alors son successeur immédiat vaut $m/2$.- Si $m$ est impair, alors son successeur immédiat vaut $(3m+1)/2$".(Voir page 1 du même texte.)La référence [111] susmentionnée renvoie, page 56, à un article que je n'ai pas trouvé sur Internet. C'est dommage, car la remarque de Pochon et Favre sur l'article de Steiner n'est pas claire. En effet, à ce que je sache, toute phase ascendante (de nombres impairs) est suivie d'une phase descendante (de nombres pairs), et pas seulement le "circuit" (1, 2).Quelque chose doit forcément m'échapper.
Je n'ai manifestement pas compris non plus la remarque de "depasse", puis sa rectification de vocabulaire. :-/Merci pour vos éventuelles remarques. -
Bonjour Sneg
Je commence par expliquer ma rectification de vocabulaire:
J'avais le souvenir (erroné) qu'on appelait "circuit", mot anglais utilisé par Steiner, un cycle particulier, à savoir une seule montée (d'impairs donc) aboutissant à un sommet (pair donc) puis une seule descente (de pairs donc) aboutissant au nombre (impair donc) qui serait précisément l'impair qui avait initialisé la montée. A partir de ce souvenir erroné de vocabulaire, je t'ai dit qu'il n'existait pas de circuit -c'est le théorème de Steiner- excepté 1,2,1.
A mon erreur de vocabulaire près, le théorème de Steiner répond exactement à ta question: OUI tes deux entiers sont toujours distincts -excepté dans le cas 1,2,1.
Pour moi le mot circuit renvoie à cercle, cycle, d'où ma confusion que j'ai voulu corriger en donnant la définition de Steiner: un circuit, pour lui, c'est une montée suivie d'une descente. Point barre. Et son théorème, avec son vocabulaire, s'énonce donc: Le seul circuit qui est aussi un cycle est 1,2,1.
En espérant t'être utile
Cordialement
Paul -
Merci, depasse, pour cette explication claire. C'est très gentil.
Cordialement.
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Bonjour!
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