Lax-Milgram et équation d'ordre 1

Bonjour,

merci énormément pour votre aide. Comme quoi je n'ai vraiment pas d'intuition, j'aurais pensé que la première approche était "moins pire" que la seconde. C'est fou car je me suis inventé cet exemple pas très intéressant en pensant qu'il serait plus simple à traiter que les exemples modèles mais ce n'est pas vraiment le cas.

Mais du coup avec les conditions aux bords proposées par Bibix, le théorème de Lax-Milgram reste-t-il applicable ou faut-il envisager des résultats plus généraux comme le théorème de Stampacchia ? En fait débutant totalement là dedans je ne sais que reproduire des cas d'écoles avec des conditions de Dirichlet homogènes.

Concernant le choix de l'espace, j'avais pris bêtement une soupe à base de $C^1$ car je me disais secrètement que la solution faible serait la solution forte. Ce qu'il faut faire si j'ai compris, on se place dans $H^1$, on essaye de résoudre et si on y arrive on essaye de montrer que la solution faible obtenue est en fait $C^1$ (ou plutôt $C^2$ maintenant qu'on a doublé le degré de l'équation différentielle) et que par conséquent c'est une solution forte ?

Merci beaucoup pour vos lumières.

Cordialement,

Mister Da

    Bonjour,

merci pour ton aide. Je reprends, on considère le problème suivant     \[   
    (P_1)\quad\left\{
    \begin{array}{rcl}
        x'+x &=&1\\
        x(0) & =& 0\\
    \end{array}
    \right.
    \qquad \text{sur}\quad [\,0\,;\,1\,]\;.
    \]     le théorème de Cauchy-Lipschitz nous permet d'affirmer qu'il existe une unique solution. Cette solution est donnée par $x(t) = 1-e^{-t}$ pour tout $t$ de l'intervalle $[\,0\,;\,1\,]$.
    Pour pouvoir utiliser la théorie de Lax-Milgram, on reformule le problème de la manière suivante \[   
    (P_2)\quad\left\{
    \begin{array}{rcl}
        -x''+x &=&1\\
        x(0) & =& 0\\
        x(1) & =& 1-x'(1)\\       
    \end{array}
    \right.
    \qquad \text{sur}\quad [\,0\,;\,1\,]\;.
    \]     La solution (forte) générale est $x(t) = \alpha\sinh(t) + \beta\cosh(t) + 1$. L'utilisation des conditions initiales donne $\beta = -\alpha = 1$ et on retrouve bien la solution du problème $(P_1)$.
    Pour écrire le problème variationnel, on se place dans $H^1$ (je me demande s'il ne faut pas ajouter que les fonctions sont nulles en l'origine ici). On prend une fonction $v$ de $H^1$ et on a \[ -\int_0^1 x''(\tau)v(\tau)d\tau + \int_0^1 x(\tau)v(\tau)d\tau = \int_0^1 v(\tau)d\tau\] et par une intégration par parties, \[ x'(0)v(0)-x'(1)v(1) + \int_0^1 x'(\tau)v'(\tau)d\tau + \int_0^1 x(\tau)v(\tau)d\tau = \int_0^1 v(\tau)d\tau\;.\]
C'est ici que je perds le fil. Je suppose que $v(0) = 0$ et d'autre part, $x'(1)v(1) = v(1) - x(1)v(1)$. Du coup, on a \[ \int_0^1 x'(\tau)v'(\tau)d\tau + \int_0^1 x(1)v(1) + x(\tau)v(\tau)d\tau = \int_0^1 v(1) + v(\tau)d\tau\;.\] J'ai glissé les constantes dans les intégrales juste pour regrouper ce qui fera un produit scalaire par la suite.

Ce n'est pas trop faux ?
Cordialement,
Mister Da

Bonjour,
un immense merci à vous deux. La précision chirurgicale de vos remarques et de vos réponses m'ont fait comprendre énormément de choses. À 12h04 j'étais abattu et 6h plus tard (heure du dernier message de Calli) me voilà presque euphorique.

@Calli "On ne peut rien te cacher toi" Oups, n'hésite pas à me dire si je vous gonfle avec toutes mes questions surtout. En fait, je suis une buse en analyse et presque terrorisé par cette discipline que je trouve ultra piégeuse. Du coup, j'essaye de m'autoformer et partant du principe que le diable se cache dans les détails j'ai tendance à me méfier de tout (un peu trop peut-être). Bref, je n'avais jamais percuté qu'on pouvait manipuler les éléments de $H^1$ comme des fonctions continues, c'est une super propriété. Je n'avais jamais entendu parlé des injections de Sobolev.

@Bibix, merci pour le problème $(P_3)$. Autant j'avais senti le problème $(P_2)$ autant je n'aurais jamais pensé au $(P_3)$. Je vais tout remettre à plat dans le week-end pour être sur d'avoir tout digéré.

Juste une dernière question, un peu plus philosophique on va dire, pour finir la journée.

Est-ce que vouloir appliquer Lax-Milgram sur le problème $(P_1)$ serait faisable même si c'est plus compliqué ? Autrement dit, est-ce qu'on peut raisonnablement supputer l'existence d'un espace et d'un produit scalaire permettant de dégainer Lax-Milgram sur le problème $(P_1)$ (après reste à les trouver mais bon) ou au contraire on ne peut rien dire tant qu'on ne les a pas trouvés (surtout que ça semble visiblement mal engagé avec les termes "croisé" $x'v$) ? En fait, même si ce n'est pas la mer à boire je ne trouve pas ça super élégant de devoir augmenter artificiellement le degré de l'équation différentielle.

Encore un grand merci pour tout, je vous suis sincèrement très reconnaissant.
Cordialement,
Mister Da

Bonjour,
merci beaucoup pour ta réponse. Effectivement s'il faut arriver sur des puissances non entières qui doivent faire intervenir des dérivées fractionnaires que je ne maitrise pas je vais rester en dimension $2$ !

J'étais en train de remettre au propre cette discussion. Je me rends compte que j'ai du mal pour montrer que l'espace
$V=\{v\in H^1(]0,1[)\mid v(0)=0\}$ est fermé dans $H^1(]0,1[)$.

Pour ça j'admets le résultat soufflé par Calli : il existe $c>0$ telle que : $\forall v\in H^1(]0,1[), \ \|v\|_\infty\leqslant c\|v\|_{H^1}$. Je considère l'application $$
\begin{array}{cccc}
\varphi\colon & H^1(]0,1[ & \to & \mathbb{R}\\
& v & \mapsto & v(0)
\end{array}
$$ On sait alors qu'il existe $c>0$ tel que pour tout $v$ de $H^1(]0,1[$,
$|\varphi(v)| = |v(0)|\leq\|v\|_\infty\leqslant c\|v\|_{H^1}$. Ainsi, l'application linéaire $\varphi$ est bornée et l'espace $V$ est fermé en tant que noyau d'une application linéaire continue.

Est-ce que c'est assez propre ?

Je vous remercie encore par avance.
Cordialement,
Mister Da