Série entière et rayon de convergence
Réponses
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- Est-ce que ta série diverge si $z=1$ ?
- Est-ce que ta série converge si $|z|<1$ ?
C'est fini. -
J’ai besoin d’aide pour calculer le rayon de convergence de la série entières
IV) le b
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Je fais l'hypothèse que la dernière ligne, avec $\mathrm{e}-(1+1/n)^n$, appartient à une autre question. Fixons $z\in\C$.À quelle condition est-ce que la suite $(2^{2p+1}z^{3p+1})_{p\ge0}$ est bornée ? (NB : c'est une suite géométrique.)À quelle condition est-ce que la suite $(2^{2p+?}z^{3p+2})_{p\ge0}$ est bornée ? (NB : c'est une suite géométrique aussi.)Pour conclure, ne peut-on pas dire que la suite $(a_nz^n)_{n\ge0}$ est bornée SSI les deux conditions précédentes sont remplies ? (À vue de nez, on trouve deux fois la même condition en fait.) Pourquoi ? Conclusion ?
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Ne pas oublier qu'une série entière, avant d'être entière est une série !
Ici, tes sommes partielles sont simplement celles de $\sum 2^{2p+1}z^{3p+1} +2^{2p+2}z^{3p+2}$ qui sont deux géométriques de raison $z^3/4$
C'est le même coup avec les lacunaires du genre iii d) auquel on ne peut pas appliquer directement d'Alembert puisque la plupart des $a_n$ sont nuls. Mais on peut l'appliquer directement à $\sum n!z^{n^2}$ ce qui donne $(n+1)z^{2n+1}$ qui tend vers 0 ou $\infty$ -
raoul.S a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2404105/#Comment_2404105[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]Bonjour @raoul.S , je me permets de m'immiscer ici car cette question $1$ m'intéresse.Comme Celrek (que je salue chaleureusement d'ailleurs) n'a pas donné d'éléments de réponses à tes questions donc à la question $1$, j'aimerais faire une proposition (sachant aussi que je ne suis pas très à l'aise avec les séries entières, pas complètement en tout cas, à deux semaines du concours : mince alors !!!
).Si $z=1$, la série $\sum a_n z^n$ vaut $\sum a_n$ qui est divergente par hypothèse. Mais la suite $(a_n 1^n)=(a_n)$ est bornée donc $1 \in \{r \geq 0 : (a_n z^n)$ est bornée $\}$ (cet ensemble n'est pas clair à mon goût d'ailleurs avec ce $r$...) ainsi ceci nous permet de conclure que $R \leq 1$ non ? (J'ai d'ailleurs du mal avec ça, je me dis intuitivement que $R$ est la plus grande valeur telle que la série converge et que si je trouve une valeur de $z$ pour laquelle la série diverge, je me dis que ça limite le choix de $R$. Ce qui me gêne là-dedans est que $sup$ est le plus petit des majorants donc j'ai l'impression que c'est contradictoire avec mon intuition...)Si $|z| < 1$ alors la série $\sum z^n$ converge vers $\dfrac{1}{1-z}$.De plus, la suite $(a_n)$ est bornée donc il existe $M >0$ tel que pour tout entier naturel $n$, $|a_n| \leq M$.Donc pour tout entier naturel $n$, $|a_nz^n| \leq |a_n | |z|^n \leq M |z|^n$.Comme la série : $M\sum |z|^n$ converge, par le théorème de comparaison, on en déduit que $\sum a_n z^n$ converge absolument donc elle converge.Ainsi, $R \geq 1$. (Intuitivement, pour $|z| <1$, la série converge donc le rayon de convergence est au moins égal à $1$ mais il peut être plus grand, il peut y avoir des valeurs supérieures à $1$ pour lesquelles la série converge, je comprends mieux cette partie de la démonstration en fait j'ai l'impression).Conclusion : $R=1$. -
Comme @NicoLeProf le fait remarquer la définition $R= \sup \{r \geq 0 \mid (a_n z^n)$ est bornée $\}$ du rayon de convergence est assez farfelue. Il serait bien de corriger cette faute.
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Lire à la place \[R= \sup\bigl \{r \geq 0 \mid (a_n {\color{red}{r}}^n)\ \text{est bornée}\bigl\}.\] Je trouve le critère bien commode de temps en temps.@NicoLeProf : ton intuition sur ce $R$ est relativement juste. Sauf que « le plus grand » est un peu inexact, dans la mesure où sur le bord du disque, tout peut arriver (exemples à avoir en tête : $\sum nz^n$, $\sum z^n$, $\sum \frac1nz^n$ et $\sum\frac1{n^2}z^n$ : il se peut que sur le bord (ici, en $1$) la suite ne soit pas bornée, que la suite soit bornée et la série grossièrement divergente, que la suite tende vers $0$ et la série soit divergente ou que la série tende vers $0$ et la série soit convergente.La clé est un lemme que je crois est nommé d'après Abel : si $(a_nr^n)$ est bornée, alors pour $|z|<r$ la série est absolument convergente. Clé : comparaison à la série géométrique de raison $|z|/r$. Ce ne serait pas le truc le plus compliqué d'Abel ! (Au passage, une conséquence, c'est la convergence normale sur tout disque de rayon $s<r$ et donc sur tout compact du disque ouvert de convergence – ce qui n'est pas pareil que la convergence normale sur le disque ouvert de convergence.)Ce que je retiens : si on trouve un $r$ tel que $(a_nr^n)$ est bornée, alors $R\ge r$ ; si on trouve un $r$ tel que $(a_nr^n)$ n'est pas bornée, alors $R\le r$.
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Ah merci bd, je me disais qu'un truc clochait là-dedans hahaha ! ^^'Ne serait-ce pas plutôt : $R=\sup\{|z| \mid z \in \mathbb{C},\ (a_n |z|^n)$ est bornée $\}$ voire $R=\sup\{|z| :\mid z \in \mathbb{C},\ \sum a_n z^n$ converge simplement $\}$ ?
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avec indications voici ce que j'ai pu faire a la question 1
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@NicoLeProf : La définition initiale serait l'ensemble des $|z|$ tels que $(a_nz^n)$ est bornée. Tu sembles avoir remarqué que $(a_nz^n)$ est bornée SSI $(a_n|z|^n)$ est bornée. Pour aller plus loin, pas besoin de faire intervenir tous les $z$ puisque seul $|z|$ intervient. D'où plutôt : l'ensemble des $r$ réels positifs tels que $(a_nr^n)$ est bornée (ou, ce qui revient au même, $\bigl(|a_n|r^n\bigr)$ bornée).L'intérêt de ce critère, c'est qu'il parle de suites et pas de série : il est en principe plus facile de montrer qu'une suite est bornée que de montrer que la série est convergente ! (Pour me contredire... comme au bout du compte il s'agit souvent de comparer à des suites géométriques, cela peut revenir plus ou moins au même.)
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@Math Coss L'expression : "$(a_n z^n)$ bornée" me laisse perplexe dans la mesure où $z \in \mathbb{C}$ ici et qu'il n'y a pas de relation d'ordre dans $\mathbb{C}$ ... C'est donc pour cette raison que j'écris $(a_n |z|^n)$ bornée dans mon ensemble permettant de définir $R$.Néanmoins, je te remercie pour tes réponses et pour tes éclaircissements concernant le rayon de convergence, cela m'aide beaucoup !
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Ce n'est pas parce que $\C$ n'a pas de relation d'ordre courante qu'on ne peut parler de suite complexe bornée.
On peut même parler de suite de matrices bornée ou de suite bornée à valeurs dans un espace vectoriel normé (ou pas mal d'autres structures). -
@Math Coss voici ce que j'ai essayé de faire pour la question IV) b
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Au demeurant, $a_n|z|^n$ n'a pas de raison d'être plus réel que $a_nz^n$...C'est simple : par définition, une suite $(u_n)$ est bornée SSI la suite de ses modules $\bigl(|u_n|\bigr)$ est bornée.PS : Pauvre celrek19 qui n'arrive pas à en placer une sur son propre fil... Problème de transfert d'image ?
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En effet, « suite bornée » ou « ensemble borné », c’est par rapport à une distance (ou une norme). On se retrouve donc dans $\mathbb R$, et même $\mathbb R_+$.
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@Math Coss donc mon raisonnement pour la question 1 n'est pas très correct ??
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On ne sait pas : on ne peut rien lire de ce que tu tentes de nous envoyer.
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question IV)
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Pour 1), tu as démontré deux fois que $R\geq 1$.Pour 2), d'où sort cette minoration par la somme des rayons ?
Je crois que tu appliques une règle sans vraiment faire d'effort de compréhension. Tu devrais relire ton cours et les exemples. -
Pour le 1, il est surprenant que les sommes de $2^{2p+1}z^{3p+1}$ et de $2^{2p/3}z^p$ soient égales : l'une a des coefficients entiers et uniquement des monômes de degrés congrus à $1$ modulo $3$, l'autre rien de tout ça. En clair, c'est faux.Je ne comprends pas pourquoi il faut appliquer le critère de Cauchy et un critère pour la somme de deux séries quand on est en train d'ajouter deux séries géométriques. Outre que tu ne sembles obtenir qu'une minoration du rayon à la fin, c'est de toute façon beaucoup trop compliqué.
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Ah oui je comprends pour les suites bornées dans $\mathbb{C}$, c'est une question de définition aussi et on utilise souvent une distance ou une norme effectivement, désolé !
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@celrek19
Ton point 1) est bizarre. Tu observes que $1$ appartient à un ensemble majoré par $R$ pour en déduire que $1$ est plus grand que $R$.Pour 2) je confirme que tu n'as rien dans ton cours qui fasse intervenir la somme de deux rayons de convergence. Or tu as écrit $R\geq R_a+R_b$ vers la fin de ta preuve. -
@JLapin pour le 1) J'ai écrit que 1 appartenait a l'ensemble dont R est la borne supérieur . R donc le plus petit élément tel que la suite là soit bornée ainsi R est forcément plus petit ou égale a 1 je ne vois pas pourquoi tu trouves sa bizarre
pour le 2) @Math Coss pour calculer le rayon de convergence je dois sans doute utiliser les série géométrique mon approche est très fausse.
comment puis-je procéder si j'utilise les séries géométriques ?? -
Donc JLapin, ma preuve ci-dessus (plus haut, juste après le post de raoul) ne tient pas la route du coup?Car si $z=1$, on trouve la divergence de la série mais la suite $(a_n)$ est bornée donc $R \geq 1$ effectivement par définition de $\sup$ . C'est ça que j'ai du mal à comprendre : en quoi l'étude de $z=1$ comme avait suggéré raoul nous permet-elle de conclure que $R \leq 1$ ? Elle permet plutôt de conclure que $R \geq 1$ ! Donc avec les indications de raoul, on prouve que $R \geq 1$ deux fois ?! ^^'En fait, si je comprends bien, il faudrait faire le même travail dans l'autre sens avec $|z| >1$ et comparer à une série géométrique divergente... ! Ce qui se fait bien ou démontrer que si $|z|>1$ alors la suite $(a_n z^n)$ n'est pas bornée mais pour le coup c'est moins simple à faire même si je vois comment m'y prendre aussi (c'est moins simple à rédiger surtout en fait).
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C'est la divergence de la série $\sum a_n$ qu'il faut exploiter. Elle implique que $1$ n'est pas dans le disque ouvert de convergence.
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@celrek19 tu dis : "$1 \in$ à un ensemble dont $R$ est la borne supérieure".Donc $R$ est aussi un majorant de cet ensemble, ok ?, donc tout élément de cet ensemble est plus petit que $R$, non ?EDIT : pas la peine, tu t'es déjà rendu compte de ton erreur.
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BonjourEffectivement, par hypothèse, la série entière diverge pour $z=1.$ On en déduit que $R\leq 1.$D' autre part, la suite $(a_n)$ est bornée alors tout $z\in \C$ tel que $|z|<1$ on montre avec l'aide d'une série géométrique que la série de terme général $[a_nz^n]$ converge (absolument). Ainsi $R\geq 1$.
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Donc ce que critique JLapin, si je comprends bien, est l'implication : "$1 \in \{r \geq 0 \mid (a_n r^n)$ est bornée $\} \Rightarrow R \leq 1$" à juste titre en effet car $R$ est majorant de cet ensemble donc $R \geq 1$.Mais la divergence de la série entière pour $z=1$ nous permet de conclure que $1$ n'appartient pas au disque ouvert de convergence donc $R \leq 1$Du coup, les deux simples constatations ci-dessus permettent de conclure que $R=1$, bizarre lol
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Non, ce n'est pas bizarre : c'est juste une situation très classique
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Ce que je trouve bizarre là-dedans est que l'on peut se passer de l'étude du cas $|z|<1$ avec les deux constatations faites ci-dessus?! ^^'
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Pourquoi deux fois ? J'applique la deuxième définition du rayon de convergence (voir premier post)NicoLeProf a dit :Donc avec les indications de raoul, on prouve que $R \geq 1$ deux fois ?! ^^'
- Pour $z=1$ la série diverge donc $R\leq 1$.
- Pour tout $|z|<1$ la série converge, donc pour tout $|z|<1$, $R\geq |z|$. Donc $R\geq 1$. -
C'est effectivement étonnant à première vue mais c'est la beauté des séries entières : le simple fait que la suite $(a_n)$ soit bornée (ou même polynomiale en $n$) implique que pour tout $z$ de module strictement plus petit que $1$, la série $\sum a_n z^n$ est convergente.NicoLeProf a dit :Ce que je trouve bizarre là-dedans est que l'on peut se passer de l'étude du cas $|z|<1$ avec les deux constatations faites ci-dessus?! ^^'
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Ok, merci beaucoup JLapin !!! C'est très clair !Oui raoul, j'ai compris la nuance avec la divergence ! Merci beaucoup !
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Je reviens au 2b pour @celrek19 : rappelons que $a_{3p}=0$, $a_{3p+1}=2^{2p+1}$ et $a_{3p+2}=2^{2p+2}$ pour tout $p\ge0$.Fixons $z\in\C$. La suite $(a_nz^n)$ est bornée SSI les sous-suites $(a_{3p}z^{3p})$, $(a_{3p+1}z^{3p+1})$ et $(a_{3p+2}z^{3p+2})$ sont bornées (pourquoi ?). La première est nulle, oublions. Les deux autres sont géométriques de raison $2^2z^3$ donc elles sont bornées SSI $4|z|^3\le1$, i.e. $|z|\le2^{-2/3}$. On en déduit que le rayon est $2^{-2/3}$.
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Merci à tous, j'ai compris.
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