Hauteurs d'un quadrilatère
Bonjour à tous,
La nouvelle page https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrilatère_orthodiagonal traduite de l'anglais mentionne des "maltitudes" joignant les milieux des côtés au projeté orthogonal sur le côté opposé.
La nouvelle page https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrilatère_orthodiagonal traduite de l'anglais mentionne des "maltitudes" joignant les milieux des côtés au projeté orthogonal sur le côté opposé.
J'ai remplacé par hauteurs, mais les (8) hauteurs classiques partent des sommets.*
Y a-t-il une expression en français ? Hauteur moyenne ?
Et y a-t-il des références en français sur ces quadrilatères ?
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Réponses
orthocentre d'un quadrilatère?
Sincèrement
Jean-Louis
La notion de maltitude revenant plusieurs fois dans l'article, il me semble utile de lui donner un nom. Et comme le segment partant d'un milieu et perpendiculaire au côté opposé est parallèle aux hauteurs partant elles des sommets il me semble important que le mot hauteur apparaisse. J'ai donc mis "hauteur moyenne " avec des guillemets ; de plus altitude se traduit par hauteur, et m est l'initiale de mean (ou de middle ?).
Un internaute m'a dit il y a un paragraphe sur ce thème dans le livre "Objectif Olympiades de Mathématiques, Tome 7, géométrie 2" de l'auteur "Mohammed Aassila". Quelqu'un aurait-il un scan de ce paragraphe ? Merci.
personnellement je préfère le terme maltitude, plus court, plus...que le terme évoqué...
Sincèrement
Jean-Louis
En complexes:
Cordialement,
Rescassol
Il faut quand même une certaine universalité pour donner un nom à un objet, qu'il soit géométrique ou non. J'entends par là que cet objet doit régulièrement se retrouver dans d'autres contextes, et des contextes variés, sans qu'on puisse le rattacher immédiatement à des objets connus. Mais si cet objet apparaît de façon singulière, quasi anecdotique, je ne vois pas l'intérêt de lui attribuer un nom. Un nom, ça se mérite !
Ici il vaut mieux situer cet objet par rapport à des universaux existants. Cela aura d'une part le mérite de renforcer ces universaux et d'autre part celui de faire cet effort ! Si on donne un nom à toute chose aussitôt qu'elle pointe le bout de son nez alors le langage se diluera dans une bouillie indéchiffrable. Mais, de toute façon, cette action n'a que peu de portée : on peut essayer de forcer le passage, c'est-à-dire d'appeler cet objet maltitude ou bientitude, comme il vous plaira, cela ne résistera pas à l'usage.
Cela dit c'est une question intéressante : à partir de quand donner un nom à un objet ? Il me semble que si cet objet se détache, se décale trop souvent d'un cadrage effectué à partir d'autres objets déjà bien définis, alors il faut y réfléchir. Mais pas avant !
Pour moi au contraire une propriété ou un objet, utile ou futile, qui n'a pas de nom est une propriété ou un objet qui n'existe pas. En tous cas j'en ai fait l'expérience en tant qu'enseignant.
Un exemple en est la formule $k{n \choose k} =n{n-1 \choose {k-1}} $ qui s'est longtemps appelée la formule sans nom jusqu'à ce que mon collègue Sébastien Kerner la baptise formule du pion. Elle vient d'avoir ses lettres de noblesse avec cette nouvelle page : https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_pion.
Et ne pas vouloir répéter une expression n'est pas un argument : on peut sans problème contourner sans difficulté. Par exemple en appelant $P$ ce projeté et en réutilisant la lettre $P$ ! Ce qui peut poser problème à mon avis c'est si ce point apparaît trop souvent ailleurs, alors oui, il faudra bien lui donner un nom. Mais on en est loin.
suite à une question de Jean-Louis Breuil,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol4.html
puis
Du cercle des huit points au cercle des neuf points p. 5-7.
Jean-Louis
J'ai ajouté ta page en référence, ainsi que celle de L. Brand.
JL Ayme ne répondant pas , je me permets de citer son travail : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/A propos de l'anticentre d'un quadrilatere cyclique.pdf
où l'on retrouve nos amies les maltitudes (logique vu son post ci-dessus).
On trouve aussi cette propriété dans https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral#Anticenter_and_collinearities
en fait j'étais plus intéressé sur l'idée d'orthocentre d'un quadrilatère à définir que sur l'emploi de maltitude...
Sincèrement
Jean-Louis
Et pourrais-je avoir une figure avec les noms des points à mettre dans wikipedia ?
Merci.
Il y aurait une règle wikipédienne qui stipulerait de laisser le terme anglais s'il n'y a pas de texte en français comportant la notion ? Mais qu'est-ce que cela veut dire ? Nous serions obligés de traduire ??
Maltitude étant l'abréviation de midpoint altitude, il a créé mi-hauteur qui ne va pas en effet puisqu'en français, mi-hauteur est l'abréviation de demi-hauteur...
Avec les notations A,B,C,D,I,J,K,L de la figure, soit M le milieu de la diagonale issue de A. D'après le théorème des milieux, le triangle IML a ses côtés parallèles à (BC), (CD), et (BD) . Donc les """maltitudes""" issues de I et L en sont deux hauteurs. Or la troisième hauteur, issue de M, n'est autre que la diagonale (AC) ( (IL) étant parallèle à (BD)). Les deux """maltitudes""" se coupent donc sur cette diagonale.
Je note que si on ne donnait pas de nom aux """maltitudes""" cette démonstration serait beaucoup plus lourde.
Mais on pourrait nommer $d_L$ la droite joignant $L$ au projeté de ce point sur le côté opposé :
Avec les notations A,B,C,D,I,J,K,L de la figure, soit M le milieu de la diagonale issue de A.
D'après le théorème des milieux, le triangle IML a ses côtés parallèles à (BC), (CD), et (BD).
Donc les droites $d_I$ et $d_L$ en sont deux hauteurs.
Or la troisième hauteur, issue de M, n'est autre que la diagonale (AC) ( (IL) étant parallèle à (BD)).
$d_I$ et $d_L$ se coupent donc sur cette diagonale.
Mais c'est peut-être un peu moins fluide, moins facile à comprendre.
En fait je préfère le texte avec le mot maltitude.
Bon dimanche !
pour une généralisation de l'orthocentre d'un quadrilatère
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Generalisations orthocentre.pdf
Jean-Louis
Pourrais tu me donner les références (nom auteur, titre, édition, page). Merci !
Pour finir, j'ai trouvé le lien suivant : https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/acv3924.0001.001/350?rgn=full+text;view=pdf
Le livre de Mohammed Aassila est vraiment génial pour tout ce qui est métrique dans le triangle et le quadrilatère : https://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/1000-challenges-mathematiques-geometrie-9782340022898/ ; c'est un FGM bis avec le langage actuel.
Il parle des maltitudes sans prononcer ce gros mot page 365.