Problème de voisinage

PierreCap · January 2023

Bonjour. J'ai une question sûrement très bête.
Soit $D$ une partie de $R$. Tout point de $D$ possède-t-il un voisinage dans $D$ ?
Je pense que non, par exemple si $D=[a,b]$ le point $a$ n'a pas de voisinage ?

Merci de m'éclairer, Pierre

Dom · January 2023

J’ai un doute finalement mais il me semble que j’effleure une question presque délicate (il n’y a cependant rien de profond) en raison d’une ambiguïté liée à la terminologie.

1) dire « un voisinage dans D » est ambigu car on peut le comprendre comme « un voisinage dans l’espace topologique D avec la topologie induite » et dans ce cas $[a;a+\varepsilon[$ pour $\varepsilon$ assez petit répond à la question.

2) peut-être qu’en disant « tout point de D posséde-t-il un voisinage dans $\mathbb R$, inclus dans D ? ».
Et là, en effet, l’ensemble que je propose dans le « 1) » n’est plus un voisinage de $a$ dans $\mathbb R$.
Attendons des confirmations ou contradicteurs car il s’agit d’un problème de terminologie.

bd2017 · January 2023

Bonjour, Revenons aux définitions : supposons que la topologie sur $\R$ soit la topologie usuelle, c'est-à-dire la topologie issue de la distance $d(x,y)=|x-y|.$ Par définition un voisinage de $a$ contient un ouvert qui contient $a$ et ne peut être inclus dans $D$.

Par contre si tu regardes $D$ comme un espace topologique, dont il faudrait préciser la topologie. Je ne vois pas d'objection à ce qu'un voisinage de $a$ soit inclus dans $D$. Je crois qu'il n'y a pas de réponse précise à ta question sans être précis sur l'espace et sa topologie.

Edit quand j'ai écris mon message je n'avais pas vu celui de @Dom. C'est peut-être redondant mais je laisse tout de même.

gerard0 · January 2023

Effectivement, l'expression "possède un voisinage" seule n'a pas de sens (sauf contexte précis). Si c'est les voisinages dans $\mathbb R$ et que "dans $D$" signifie "inclus dans D", la réponse est évidente.

Cordialement.

PierreCap · January 2023

Je n'ai aucune connaissance en topologie, je m'intéresse à cette notion de voisinage uniquement pour comprendre les caractérisations que l'on donne de certaines propriétés des fonctions à variable réelle (continuité, limite...). Voici les définitions dont je dispose :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/n8/gstgz2bihh49.jpg

gerard0 · January 2023

OK.
Avec ces définitions, pas de problème pour $[a,b]$ en $a$. $[a,b]$ est d'ailleurs un voisinage de $a$. Tout repose sur le fait qu'on prend l'intersection avec $D$.
Et c'est la même chose pour tout point $x$ de $D$ : $V=\,]x-1,x+1[\,\cap\, D$ est un voisinage de $x$.

Cordialement.

PierreCap · January 2023

Merci Gérard. Effectivement je me trompais, tout point de $D=[a,b]$ possède un voisinage, qui est $D$ lui-même. $D$ est bien un intervalle ouvert dans $D$ contenant tout point de $D$.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

PierreCap · January 2023

Mais puisque $D$ est un voisinage de chacun de ses points, je ne vois pas tellement où est l'intérêt de cette notion pour décrire les propriétés locales d'une fonction. Si on dit en effet qu'une propriété est locale au point $x_0$ s'il existe un voisinage de $x_0$ dans lequel cette propriété est vraie, elle sera vraie pour tout le domaine de définition $D$ ?

PierreCap · January 2023

Oups je dis n'importe quoi. S'il existe un voisinage de $x_0$ dans lequel une propriété est vraie, elle n'est pas nécessairement vraie dans tout voisinage de $x_0$. Par exemple une fonction peut avoir un maximum local au voisinage de $x_0$ sans que ce soit un maximum sur $D$.

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