Un simple calcul

kolotoko · January 2023

Calculer sept puissance sept modulo factorielle sept.
Bien cordialement.
kolotoko

Alain24 · January 2023

$7^7=a7!+b$

$b\equiv 0(mod ~7)$
$b\equiv 1(mod~ 6)$
$b\equiv 2^7\equiv 3 (mod ~5)$
$b\equiv 3^7\equiv 3 (mod ~4)$
$b\equiv 4^7\equiv 1 (mod ~3)$
$b\equiv 5^7\equiv 1 (mod ~2)$

Alain24 · January 2023

Dans l'anneau produit $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $b$ s'identifie à $(0,1,3,3,1,1)$, il faut en déduire à quoi il s'identifie dans l'anneau $\mathbb{Z}/7!\mathbb{Z}$.

Il faut commencer par exhiber un morphisme entre ces deux anneaux

Julia Paule · January 2023

A la main, bonne année !

@Alain24, ton anneau produit n'est pas isomorphe à $\mathbb Z / 7! \mathbb Z$, je ne sais pas si cette méthode va marcher.

Alain24 · January 2023

Soient $a_i\in\mathbb{Z}/i\mathbb{Z}$ et le morphisme vers $\mathbb{Z}/6!\mathbb{Z}$ tel que $(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)\rightarrow a_1\times\dots\times a_6$

Poirot · January 2023

D'après le théorème chinois, $\mathbb Z/7!\mathbb Z$ est isomorphe, en tant qu'anneau, à $\mathbb Z/16\mathbb Z \times \mathbb Z/9\mathbb Z \times \times \mathbb Z/5\mathbb Z \times \mathbb Z/7\mathbb Z$. Il reste à calculer les puissances successives de $7$ dans chaque facteur, puis à exhiber l'image réciproque dans $\mathbb Z/7!\mathbb Z$ pour obtenir le résultat.

Alain24 · January 2023

En identifiant la classe $a_i$ à son représentant strictement plus petit que $i$, le morphisme exhibé est de noyau l'ensemble constitué du seul zéro de l'anneau produit de départ. Le morphisme est donc injectif, il est aussi surjectif car les ensembles finis de départ et d'arrivée ont même cardinal : c'est un isomorphisme.

Rescassol · January 2023

Bonjour,

Bonne année également.

Cordialement,
Rescassol

Poirot · January 2023

@Alain24 : Quelle est l'image de $420$ par ton morphisme ?

Alain24 · January 2023

$b\equiv 9~(mod~ 6!)$ et $b\equiv 0 (mod~7)$

$b=k\times 6!+9$
$b=k'\times 7$

Alain24 · January 2023

Mais $6!$ et $7$ sont premiers entre eux, on peut trouver $0<\alpha<7$ et $0<\beta<6!$ uniques avec $\alpha\times 7-\beta\times 6!=1$

et on a donc $\alpha\times 63-\beta\times 6!\times 9=9$, cette égalité détermine $k,k'$ donc $b=9\alpha$.

Alain24 · January 2023

On essaie successivement $\alpha=1,\dots,6$ et le tour est joué.

NicoLeProf · January 2023

Méthode peu élégante : $7^7 = 823$ $543$ puis par division euclidienne de $7^7 $ par $7!$, on trouve que $7^7 \equiv 2023 \pmod {7!}$ .

Méthode élégante : on décompose $7!$ en produit de facteurs premiers : $7!=7 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2^2 \times 3 \times 2=2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7$ .

On regarde les congruences de $7^7$ modulo $2^4=16$ puis modulo $3^2=9$ puis modulo $5$ et enfin modulo $7$ .

On trouve alors un système de $4$ équations de congruences sachant que $16$ , $9$ , $5$ et $7$ sont deux à deux premiers entre eux.

Le théorème des restes chinois assure alors l'existence et l'unicité de la solution du système modulo $7!$ .

Les calculs sont tout de même assez longs et on trouve : $7^7 \equiv 1008-560+1575 \pmod {7!}$ i.e : $7^7 \equiv 2023 \pmod{7!}$ .

En fait, ma méthode rejoint complètement celle de Poirot ! Le résultat est vraiment fun et fait echo à cette nouvelle année !!! Merci à l'auteur pour cette merveilleuse application du théorème des restes chinois et bonne année à vous tous et toutes !!!

Math Coss · January 2023

Méthode vraiment pas élégante :

sage: (7^7)%factorial(7)
2023

Un simple calcul

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 2