Triangle, antiparallèle et cercle tangent

Une autre question

Si l'on envisage maintenant tous les cercles tangents au segment AC au niveau du point Q, l'on détermine par intersection de ces cercles avec la droite AB une série de paires de points (à partir d'un certain diamètre) et de là une série de triangles de même bissectrice issue du sommet Q.

Si l'on déplace le point Q en Q' sur sa droite, la Q'-bissectrice des nouveaux triangles construits par les nouveaux cercles tangents sera parallèle à la précédente.
Montrer que l'axe de ces bissectrices en Q, Q' et tout point Q" déplacé sur la droite AC est parallèle à la bissectrice externe au sommet A du triangle ABC.

(J'aurais pu réécrire le problème sans le côté BC du triangle et considérer deux droites sécantes AB et AC)
Un corollaire évident.
Si le cercle construit est bitangent aux droites AB et AC, l'axe reliant les deux points de tangence est parallèle à la même bissectrice externe en A du triangle.

Un autre corollaire
Soit deux droites sécantes en un point A. Tout cercle tangent à l'une et sécant à l'autre détermine par ses points d'intersection deux segments antiparallèles par rapport aux deux droites.

Jean-Pol