Polynômes irréductibles en caractéristique $p$
En réfléchissant au problème (censé être simple, a priori) : $X^2+1$ est-il irréductible dans $\mathbb{F}_9$, je me suis rendu compte de plusieurs choses.
1) Je n'en ai aucune idée
2) Je ne trouve aucun élément de réponse dans mes bouquins. Soit ils sont mal écrits et il faut comprendre en lisant entre les lignes, soit je suis juste bête.
Donc là ça m'énerve un peu. Je pose donc la question suivante :
1) Je n'en ai aucune idée
2) Je ne trouve aucun élément de réponse dans mes bouquins. Soit ils sont mal écrits et il faut comprendre en lisant entre les lignes, soit je suis juste bête.
Donc là ça m'énerve un peu. Je pose donc la question suivante :
Comment étudie-t-on si un polynôme $P$ donné est irréductible ou non sur un corps fini $\mathbb{F}_q$ ? Et sur un corps de caractéristique $p$ qui est infini ?
Ce que je cherche, ce n'est pas qu'on me fasse un cours complet avec démonstrations, bien sûr. Les théorèmes, je dois les avoir quelque part (enfin, j'espère) mais je n'arrive pas à faire le lien entre ce qu'il y a dans mes bouquins et cette question précise.
Et ne me demandez pas comment j'ai pu survivre à mon exam de théorie de Galois sans savoir ça. Aucune idée.
Réponses
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Etudie l'anneau $\mathbb F_3[X]/(X^2+1)$.
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Donc $\mathbb{F}_p[X]/(P)$ en général, si $q=p^n$. Je vais regarder ça !
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Bonjour,
par exemple, comment démontre-t-on que $z^2+z+1$ est irréductible sur l’anneau des entiers modulo $2$ (qui est un corps puisque $2$ est premier) ?
Voilà une méthode qui m’a été enseignée sur des exemples simples.
On commence par se dire que si $z^2+z+1$ était réductible de degré $2$, il possèderait un facteur de degré $1$, donc une racine dans $\mathbb{Z}_2$. Ce qui n’est pas le cas.
On utilise cette méthode pour construire des corps finis comme des anneaux quotient de polynômes irréductibles.
On a $2^3=8$ polynômes de degré $3$ dans $\mathbb{Z}_2[z]$. On cherche ceux qui n’ont pas de racines dans $\mathbb{Z}_2$.
Après, il existe des méthodes plus fines pour obtenir des facteurs linéaires (dans $\mathbb{Z}_q[z]$). d’expressions comme $z^q-z$.
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La méthode ci-dessus est triviale sur des exemples aussi simples.
Soient $q=p^r$ et $\mathbb{Z}_p$. Prenons $q=2^2$; pour factoriser $x^4-x$ en produit de polynômes irréductibles sur $\mathbb{Z}_2$, on a déjà les facteurs évidents $x$ et $x-1$.
Il n’y a pas d’autres éléments que $0$ et $1$ dans $\mathbb{Z}_2$: on sait alors que le troisième facteur est forcément de degré $2$ puisque ce degré doit diviser le $r$ de $q=p^r$ ! On trouve alors par division polynomiale que $x^2+x+1$ est le seul irréductible de degré $2$. -
Pour un polynôme de degré $2$ ou $3$, on a l'avantage que soit il est irréductible, soit il a une racine. Sur un corps fini suffisamment gentil, je pense qu'on peut faire ça à la main ? Typiquement sur les $\mathbb{F}_p$, ça se fait.Mais je cherche surtout une méthode générale. Je vais déjà bouquiner un peu à la recherche d'informations sur l'indice de gai requin.
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OK, donc il y a une méthode toute faite et qui porte un nom. Merci !J'avais trouvé entre temps que si $P \in K[X]$ est irréductible, alors il est irréductible sur son sous-corps premier (ça coule pratiquement de source), donc ma question de déterminer si un polynôme $P$ est irréductible en caractéristique $p$ peut commencer par l'étude des $P \in \mathbb{F}_p[X]$ irréductibles sur $\mathbb{F}_p$. Après, ça doit être des questions de corps de rupture... je pense qu'il va y avoir des trucs sur ça dans ma littérature.J'ai de la lecture à faire, semblerait-il.
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Pour le cas particulier où $P\in \mathbb{F}_p[X]$ est de degré $n$, alors $P$ n'est jamais irréductible dans $\mathbb{F}_{p^n}[X]$. L'exemple du premier message fait partie de ce cas particulier.
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Quelque chose m'échappe ici (j'en suis désolé, c'est sans doute idiot de ma part mais je préfère poser la question) : ne suffit-il pas de vérifier que $X^2+1$ n'a pas de racines dans $\mathbb{F}_9$ en testant chaque classe pour prouver son irréductibilité (en regardant $0^2$, $1^2$ , ... , $8^2$ modulo $9$)? Cela revient donc à dire que $-1$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_9$ non ?Je me dis que si ce polynôme était réductible, comme il est de degré $2$ il aurait un facteur de degré $1$ donc une racine dans $\mathbb{F}_9$ ...Je me plante complètement ? Pourquoi ?
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@NicoLeProf : $\mathbb F_9$, ce n'est pas ce que tu dis, mais, pour faire simple, l'ensemble des $9$ racines de $X^9-X$ vu comme polynôme de $\mathbb F_3[X]$.
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Oui et non. Il suffirait de vérifier qu'il n'a pas de racine mais il en a. Ton erreur vient de ce que le corps à neuf éléments n'est pas $\Z/9\Z$.
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Ok je crois comprendre... Depuis le début pour moi : $\mathbb{F}_9$ est la notation standard pour désigner $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ qui n'est pas un corps oui !En fait, la notation $\mathbb{F}_9$ désigne pour vous le corps à $9$ éléments du coup : $\mathbb{F}_9=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)$ .
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Alors, j'y ai beaucoup réfléchi, je me suis renseigné aussi en relisant des cours etc. Je ne suis pas sûr de totalement comprendre ta question gai requin mais voici ce que j'ai fait.J'ai l'impression que $\mathbb{F}_9$ est isomorphe à l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{F}_3$ de degré inférieur ou égal à $1$. En fait, $\mathbb{F}_9$ serait isomorphe à l'ensemble : $\{0 ; 1 ; 2 ; X ; X+1 ; X+2 ; 2X ; 2X+1 ; 2X+2 \}$ . Donc au final on aurait une égalité du genre : $\mathbb{F}_9=\{0 ; 1 ; 2 ; \bar{X} ; \bar{X}+1 ; \bar{X}+2 ; 2\bar{X} ; 2 \bar{X}+1 ; 2 \bar{X}+2\}$ où je note abusivement $0$ ; $1$ ; $2$ les éléments de $\mathbb{F}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ pour le coup.Pour prouver ce que je veux, j'ai considéré $f : \mathbb{F}_3[X] \to \mathbb{F}_3[X]$ qui à un polynôme $P$ de $\mathbb{F}_3[X]$ associe le reste de la division euclidienne de $P$ par le polynôme $X^2+1$ dans l'idée d'utiliser le premier théorème d'isomorphisme ensuite mais ça bugue car $f$ n'est pas un morphisme d'anneaux j'ai l'impression (la condition avec la multiplication n'est pas vérifiée je crois bien !
)Donc je dirais que $-1 \in \mathbb{F}_9$ car $-1$ est racine de $X^9-X$ ou encore $-1=2$ dans $\mathbb{F}_3$ et $2 \in \mathbb{F}_9$ si mon étude précédente est juste.Et que $-1$ est un carré dans $\mathbb{F}_9$ car : $\bar{X}^2=-1$ dans $\mathbb{F}_9$.Donc ... $\bar{X}^2+1=0$ dans $\mathbb{F}_9$ . Donc le polynôme $X^2+1$ a une racine dans $\mathbb{F}_9$ . Donc il n'est pas irréductible dans $\mathbb{F}_9$ et on a : $X^2+1=(X-\bar{X})(X+\bar{X})=(X+2\bar{X})(X+\bar{X})$ dans $\mathbb{F}_9$ ???Désolé si c'est du grand n'importe quoi...
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Et voilà, $-1$ est un carré dans $\mathbb F_9$.
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Et ce que j'ai écrit au-dessus est bon???
L'étude/l'écriture de $\mathbb{F}_9$ ? Le fait que $X^2+1$ ne soit pas irréductible dans $\mathbb{F}_9$ ainsi que la factorisation que je propose? -
@NicoLeProf je suppose que tu le sais déjà, mais juste pour rappel parce que les rappels ça fait du bien : quand tu quotientes, tu déclares en gros que tout ce qui est dans "le truc par lequel tu quotientes" devient $0$. Avec $\Z/n\Z$, tu vois que ce qui reste après quotient c'est, ben, les restes (modulo $n$). Là c'est pareil, tu quotientes par (l'idéal engendré par) $P$, ben, chaque polynôme devient assimilé à son reste modulo $P$. Il suffit de déterminer les restes possibles dans une division euclidienne par $P$ dans $\mathbb{F}_3[X]$, et tu as $\mathbb{F}_9$. Et en effet, ta liste correspond exactement.
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Oui je n'ai juste pas du tout confiance en moi quand il s'agit d'ensembles quotients mais ça va mieux en ce moment ^^'
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Allez, factorise $X^2-X-1$ dans ton $\mathbb F_9[X]$ en notant plutôt $\alpha$ la classe de $X$ modulo $X^2+1$ pour éviter toute ambiguïté de notations.
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Les quotients au début c'est dur, ça c'est normal, on est tous passés par là.Un truc qui va peut-être te faire tilter sur tout le concept d'ensemble quotient en algèbre, c'est ceci : tu as un ensemble $X$. Tu considères une certaine équation. Tu aimerais que cette équation soit valable dans tout $X$. Tout ce que tu fais, c'est que tu fabriques une relation d'équivalence associée à ton équation, tu quotientes, et PAF tu as l'ensemble "le plus proche de $X$" qui vérifie ton équation. Par exemple, tu veux que pour tout entier $x \in \Z$, $x+7n$ et $x$ soient égaux, tu fabriques la relation d'équivalence $7\Z$ et tu construis $\Z/7\Z$ dans lequel c'est vrai.Là c'est la version expliquée avec les mains, il faut s'accrocher un peu plus pour la version avec des symboles, mais la version avec des symboles existe sur ce forum : elle a été écrite, spécifiquement pour moi, il y a trois ans, et le lien est ici. Pour le contexte si tu choisis de lire, un objet "libre" est libre dans le sens où il vérifie le moins possible d'équations pour quand même être défini. Une équation qui doit être vérifiée par tout le monde "force" l'objet à être d'une certaine manière : dans un groupe, tout le monde "doit" avoir un inverse (c'est imposé par l'équation $\forall x \in G,\ \exists y \in G ,\ xy=1$) donc un groupe est forcé d'avoir une "forme symétrique". Ce genre de choses.
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Je trouve : $X^2-X-1 = (X-(\alpha+2))(X-(2\alpha +2))$ . Je pense que c'est bon non?
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Je relève ce qui est pas top, pour pouvoir progresser.
Effectivement ça bugue.NicoLeProf a dit :Pour prouver ce que je veux, j'ai considéré $f : \mathbb{F}_3[X] \to \mathbb{F}_3[X]$ qui à un polynôme $P$ de $\mathbb{F}_3[X]$ associe le reste de la division euclidienne de $P$ par le polynôme $X^2+1$... mais ça bugue car $f$ n'est pas un morphisme d'anneaux
Pas très clair. En fait, tout corps contient $-1$ (l'opposé du neutre multiplicatif), on ne voit pas trop où tu veux en venir.NicoLeProf a dit :Donc je dirais que $-1 \in \mathbb{F}_9$ car $-1$ est racine de $X^9-X$ ou encore $-1=2$ dans $\mathbb{F}_3$ et $2 \in \mathbb{F}_9$ si mon étude précédente est juste.
Le reste est bon. -
Merci beaucoup raoul pour les remarques !!!
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@NicoLeProf : On nous raconte dans les livres que $K=\mathbb F_3[X]/(X^2+1)$ et $L=\mathbb F_3[X]/(X^2-X-1)$ sont isomorphes.
Grâce à tous tes beaux calculs, saurais-tu expliciter un isomorphisme de $K$ dans $L$ ?
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@NicoLeProf réutilisera ses calculs, j'esquisse une version reposant sur la méthode de résolution des équations de degré $2$ un peu interprétée. Dans $\mathbf{F}_3[Y]$, on part de \[Y^2-Y-1=\left(Y-\frac12\right)^2-\frac14-1=(Y-2)^2+1.\] On veut alors poser $X=Y-2$, ce qui revient à considérer $\mathbf{F}_3[Y]\to\mathbf{F}_3[X]$, $Y\mapsto Y-2$, à composer $\mathbf{F}_3[Y]\to\mathbf{F}_3[X]\to\mathbf{F}_3[X]/(X^2+1)$ et à voir si/qu'on peut passer au quotient.
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$Y^2-Y-1=\bigg(Y-\dfrac{1}{2}\bigg)^2-\dfrac{1}{4}-1$, typiquement, je n'oserais jamais écrire ça dans un corps fini.Je sais que les coefficients dans un corps fini ne sont que des entiers modulo $p$, mais, dans $\Z/3\Z$ par exemple, on n'écrit pas $4$, on écrit $1$. Et puis par exemple, dans un corps fini où $2$ existe, $\dfrac{1}{2}$ existe aussi puisque $2 \neq 0$ et est inversible, mais je n'écrirais jamais son inverse $\dfrac{1}{2}$, mais comme la classe d'entiers qui est son inverse. Du coup, ça complique énormément les raisonnements de devoir réfléchir à chaque ligne quelle est "la bonne écriture" de l'idée qu'on a en tête.Forcément, si MC ne s'embête pas avec, c'est plus simple
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Take it easy! L'arithmétique modulo $p$ c'est l'arithmétique habituelle avec une règle de plus : $p=0$.
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Si la méthode pour comprendre c'est de ne pas s'embêter à être précis, je crois que je saurai m'y faire
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Bonjour.Comme je ne confonds pas à priori un corps à p éléments avec le modèle $\frac{\mathbb Z}{p\mathbb Z}$, je n'y vois pas de classe. Et comme $\frac 1 n = n^{-1}$ est une notation classique pour l'inverse de $n$, il n'y a aucun problème à écrire $\frac 1 2$ dans un corps qui a $2$ comme élément.Cordialement.
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De même que $4$ est un autre nom pour $1$ dans $\mathbf F_3$. Je ne vois pas pourquoi ce n'est pas précis !
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Dans le sens où $4$ n'est pas le représentant de la classe $\overline{1} \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ qui est dans $\{0,1,2\}$ (réduit, privilégié, le plus petit, peu importe comment on veut les appeler ceux-là), et qu'il existe un entier tel que $\dfrac{1}{2}=\overline{n}$ modulo $p$. Toi, tu ne t'embêtes pas avec ça. Moi, j'essayais de faire ça à chaque étape de chaque calcul, tout le temps. Précis n'est probablement pas le bon mot... "plus adapté à mon cerveau", si on veut.
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@gai requin , je crois que j'ai réussi à expliciter l'isomorphisme entre $K=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)$ et $L=\mathbb{F}_3[X]/(X^2-X-1)$ .Comme d'habitude, ma méthode est sans doute trop longue et trop compliquée mais bon... Je l'aime bien et ça ne me pénalise pas niveau timing (y compris lors d'écrits d'agreg interne j'ai l'impression, j'arrive à faire une bonne quantité de questions en ce moment).Je me lance (en espérant que ce soit bon en tout cas) :Pour alléger les notations, on note $\alpha$ : la classe de $X$ dans $K$ et $\beta$ la classe de $X$ dans $L$ .Déjà, on remarque que tous les éléments de $K$ s'écrivent sous la forme : $a+\alpha b$ où $a$, $b \in \mathbb{F}_3$ .Donc $K$ est un $\mathbb{F}_3$-espace vectoriel et on a : $K=Vect(1 ; \alpha)$ .Comme la famille : $(1,\alpha)$ est libre car les classes d'équivalence sont $2$ à $2$ disjointes, c'est une base de $K$ et $K$ est de dimension $2$.Par le même raisonnement, on a : $L=Vect(1,\beta+1)$ (ce $\beta +1$ a son importance : on verra plus tard). Et $L$ est aussi un $\mathbb{F}_3$-espace vectoriel de dimension $2$ et la famille $(1 ; \beta+1)$ est une base de $L$ .On considère maintenant l'application linéaire : $\phi : K \to L$ telle que $\phi(1)=1$ et $\phi(\alpha)=\beta+1$ . L'application linéaire $\phi$ est bien définie car entièrement déterminée par les images des vecteurs de la base $(1,\alpha)$ de $K$.De plus, l'image d'une base de $K$ par $\phi$ est une base de $L$ donc $\phi$ est bijective.Il reste donc à prouver que $\phi$ est un morphisme d'anneaux pour conclure la preuve.
- $\phi(1)=1$ (par construction de $\phi$) .
- pour $u$, $v \in K$, $\phi(u+v)=\phi(u)+\phi(v)$ par linéarité de $\phi$ .
- Soient $u$ et $v$ des éléments de $K$ . On peut écrire $u=a\alpha +b$ et $v= c\alpha+d$ de manière unique avec $a$, $b$, $c$, $d \in \mathbb{F}_3$ .
Donc par linéarité de $\phi$, $\phi(u . v)=(ad+bc)\phi(\alpha)+bd-ac=(ad+bc)(\beta+1)+ad-bc$ .
D'autre part, on calcule : $\phi(u).\phi(v)=(a(\beta+1)+b)(c(\beta+1)+d)$ (par linéarité de $\phi$) .
$\phi(u).\phi(v)=ac(\beta+1)^2+(ad+bc)(\beta+1)+bd$ .
Or, $(\beta+1)^2=\beta^2+2 \beta+1=\beta+1+2 \beta+1=2=-1 $ dans $L$ (en effet, $\beta^2=\beta+1$ dans $L$).
Donc $\phi(u).\phi(v)=(ad+bc)(\beta+1)+bd-ac=\phi(u . v)$ .
Ainsi, $\phi$ est un morphisme d'anneaux bijectif donc $\phi$ est un isomorphisme d'anneaux : ce qui conclut la preuve.Pour trouver $\phi$, je me suis dit que la structure d'ev de dimension $2$ m'aiderait beaucoup et qu'il fallait impérativement associer $1$ à $1$ et $\alpha$ à $\beta+1$ car $-1=\alpha^2$ dans $K$ et $-1=(\beta+1)^2$ dans $L$ .En espérant que cette preuve soit claire et correcte ! ^^' -
@NicoLeProf : En fait, ton $\phi$ envoie, pour $P\in\mathbb F_3[X]$, $P(\alpha)$ sur $P(\beta+1)$.On montre que $\phi$ est bien définie puis que c’est un isomorphisme sans aucun calcul.
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Au début pareil, mais se rappeler que tout corps est isomorphe à son corps des fractions m'a aidé à passer le cap sans trop de scrupules !Homo Topi a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2403568/#Comment_2403568[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
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gai requin a dit :On montre que $\phi$ est bien définie puis que c’est un isomorphisme sans aucun calcul.Ah sans calcul, je ne vois pas vraiment comment faire ! ^^'Déjà pour montrer que mon $\phi$ envoie, pour $P \in \mathbb{F}_3[X]$, $P(\alpha)$ sur $P(\beta+1)$, je passerais par le calcul ! ^^'
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Si c'est l'écriture fractionnaire dans $\Z/3\Z$ qui choque avec $Y^2-Y-1=\left(Y-\frac12\right)^2-\frac14-1$, on peut toujours écrire $$Y^2-Y-1=\left(Y-2^{-1}\right)^2-4^{-1}-1$$Alain
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Pour montrer l'isomorphisme sans calcul, j'utiliserais l'isomorphisme $\mathbb F_3[X] \to \mathbb F_3[X], X \mapsto X+1$. Alors l'image de l'idéal $(X^2+1)$ est l'idéal $(X^2-X-1)$, et on a l'isomorphisme d'anneaux $\mathbb F_3[X]/(X^2+1) \to \mathbb F_3[X]/(X^2-X-1)$ par un des théorèmes d'isomorphisme.L'isomorphisme d'espaces vectoriels est immédiat sachant qu'il s'agit de deux espaces vectoriels de dimension 2 sur le même corps de base.
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Techniquement, non, elle ne me "choque" pas. Mais comme je n'aurais pas pensé à l'utiliser (avant), j'avais du mal à faire des choses simples comme factoriser un polynôme de degré $2$ avec une identité remarquable comme on le fait "d'habitude" (en caractéristique $0$). C'est juste ça.Mais j'apprends, j'apprends...
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