Intégrer un produit scalaire sur une sphère

Première remarque : l’intégrale ne dépend pas de $\theta_0$ et tu peux prendre $\theta_0=e_1 $ pour le calcul. Détails sur  demande.

Deuxième remarque si tu connais un peu de probabilités, $\mu$ est la loi de $Z/\|Z\|$, avec $Z\sim N(0,I_n)$ multipliée par la surface de la sphère $C_n$ et donc $I=C_n\mathbb{E}(f(Z_1/\|Z\|)).$

Troisieme remarque $Z_1^2/\|Z\|^2=Z_1^2/(Z_1^2+\cdots+Z_n^2)$ suit une loi $ \beta (1/2,(n-1)/2)$ de densité $(B((1/2,(n-1)/2)))^{-1}x^{-1/2}(1-x)^{(n-3)/2}$ Donc si par chance ta fonction $f$ est paire pas de panique ton intégrale est simple et vaut $$I=2C_n(B((1/2,(n-1)/2)))^{-1}\int_0^1f(\sqrt{x})x^{-1/2}(1-x)^{(n-3)/2}dx$$
Si $f$ n'est pas paire, on peut t'expliquer comment faire, et aussi comment calculer $C_n$. Mais mon message est pour l'instant assez long comme ça.

Soit $U\in\mathbb{O}(n)$ dans le groupe des matrices orthogonales. L'image de $\mu(d\theta)$ par $\theta\mapsto t=U\theta$ est égale à $\mu(dt)$ (ça peut être une des définitions de $\mu$). Donc si on fait le changement de variable $\theta\mapsto t$ dans l’intégrale $I$ on a $$I=\int_{S_{n-1}}f(\langle U^{-1}t,\theta_0\rangle )\mu(dt)=\int_{S_{n-1}}f(\langle t,U\theta_0\rangle )\mu(dt)$$ Comme le groupe $\mathbb{O}(n)$ agit transitivement sur la sphère on peut choisir $U$ tel que $U\theta_0=e_1$ et donc $I=\int_{S_{n-1}}f(\langle t,e_1\rangle )\mu(dt).$

Pour traiter le cas où $f$ n'est pas paire, on observe que $I=0$ si $f$ est impaire. Donc pour un $f$ quelconque on écrit $f=Pa+Im$ avec $Pa(t)=(f(t)+f(-t))/2.$