Errata : Introduction au langage catégorique

$\newcommand{\hom}[3]{\mathscr{#1}\left({#2},\,{#3}\right)}\newcommand{\MFun}[2]{\mathrm{Fun}\left(\mathscr{C}\left({#1},\,{-}\right),\,#2\right)}\newcommand{\Fonc}[3]{#1:#2#3\to\mathrm{Fun}\left(\mathscr{C}\left({#3},\,{-}\right),\,#2\right)}$Je propose maintenant une autre démonstration du lemme de Yoneda. Cette démonstration se trouve par exemple dans Toposes and Local Set Theories, an introduction de John Lane Bell, page 25, mais encore dans Les formalismes fondamentaux de l'algèbre commutative de Jean-Pierre Lafon, avec quelques coquilles, pages 14 et 15.

Voici l'énoncé du théorème de Yoneda sur lequel tout repose : soit $\mathscr{C}$ une catégorie. Soit $X\in\mathscr{C}_0$ un objet de $\mathscr{C}$ et $F:\mathscr{C}\to\mathcal{Ens}$ un foncteur. Alors, l'application\[\Bbb{Y}:\mathrm{Fun}\left(\hom{C}{X}{-},\,F\right)\to{}FX\]définie par $\Bbb{Y}(\theta)=\theta_X(1_X)$, toutes les fois que $\theta$ appartient à la classe $\mathrm{Fun}\left(\hom{C}{X}{-},\,F\right)$, est une bijection.

Une preuve : elle se fait en quelques étapes, vraiment très claires. Soit $\sigma:\hom{C}{X}{-}\to{}F$ un élément de la classe $\mathrm{Fun}\left(\hom{C}{X}{-},\,F\right)$, i.e. un morphisme fonctoriel de $\hom{C}{X}{-}$ dans $F$. Alors $\Bbb{Y}(\sigma)=\sigma_X(1_X)$ appartient bien à $FX$, vu que $\sigma_X:\hom{C}{X}{X}\to{}FX$ est un morphisme de la catégorie $\mathcal{Ens}$, i.e. une application de l'ensemble $\hom{C}{X}{X}$ vers l'ensemble $FX$. D'autre part, l'on a $1_X\in\hom{C}{X}{X}$. de sorte que $\Bbb{Y}$ est bien définie.

Montrons que $\Bbb{Y}$ est injective. Soient $\rho$ et $\tau$ appartenant à la classe $\mathrm{Fun}\left(\hom{C}{X}{-},\,F\right)$ tels que $\Bbb{Y}(\rho)=\Bbb{Y}(\tau)$. Étant donnés un objet $Y\in\mathscr{C}_0$ de  $\mathscr{C}$ et un morphisme $f\in\hom{C}{X}{Y}$ arbitrairement choisis, l'on sait que les deux carrés ci-dessous commutent\[\xymatrix@R+1pc@C+2pc{ \hom{C}{X}{X} \ar[r]^{\rho_X} \ar[d]_{\hom{C}{X}{f}} & FX \ar[d]^{F(f)} \\ \hom{C}{X}{Y} \ar[r]_{\rho_Y} & FY }\qquad\qquad\xymatrix@R+1pc@C+2pc{ \hom{C}{X}{X} \ar[r]^{\tau_X} \ar[d]_{\hom{C}{X}{f}} & FX \ar[d]^{F(f)} \\ \hom{C}{X}{Y} \ar[r]_{\tau_Y} & FY }\]de sorte que l'on tire immédiatement\[F(f)\left(\rho_X(1_X)\right)=\rho_Y\left(\hom{C}{X}{f}(1_X)\right)=\rho_Y\left(f1_X\right)=\rho_Y(f)\text{, ainsi que }F(f)\left(\tau_X(1_X)\right)=\tau_Y(f)\]Partant, notre hypothèse $\Bbb{Y}(\rho)=\Bbb{Y}(\tau)$ nous conduit donc à $\rho_X(1_X)=\tau_X(1_X)$ par définition de $\Bbb{Y}$, de sorte que $\rho_Y(f)=F(f)\left(\rho_X(1_X)\right)=F(f)\left(\tau_X(1_X)\right)=\tau_Y(f)$ en vertu de ce qui précède. L'arbitraire sur $f$ et sur $Y$ nous permet de conclure que $\rho=\tau$ comme attendu. L'injectivité de $\Bbb{Y}$ est acquise.

Montrons que $\Bbb{Y}$ est surjective. Pour ce faire, choisissons $a\in{}FX$. L'on souhaite déterminer un morphisme fonctoriel $\psi(a):\hom{C}{X}{-}\to{}F$ tel que $\Bbb{Y}(\psi(a))=a$. Pour ce faire, pour tout objet $Z\in\mathscr{C}_0$ et tout morphisme $g\in\hom{C}{X}{Z}$, posons\[\psi(a)_Z(g)=F(g)(a)\qquad(\bullet)\]en notant bien que $\psi(a)_Z:\hom{C}{X}{Z}\to{}FZ$ (i.e. $\psi(a)$ évalué en $Z$) est une application et que $F(g):FX\to{}FZ$ l'est également, de sorte que $F(g)(a)\in{}FZ$. Comme nous l'avons déjà vu, l'on affirme que $\psi(a)$ appartient à la classe $\mathrm{Fun}\left(\hom{C}{X}{-},\,F\right)$. En effet, tout revient à montrer que le carré\[\xymatrix@R+1pc@C+2pc{ \hom{C}{X}{U} \ar[r]^{\psi(a)_U} \ar[d]_{\hom{C}{X}{h}} & FU \ar[d]^{F(h)} \\ \hom{C}{X}{V} \ar[r]_{\psi(a)_V} & FV }\]commute, où $U$ et $Z\in\mathscr{C}_0$ sont des objets quelconques et $h\in\hom{C}{U}{V}$ un morphisme quelconque. En effet, pour tout $u\in\hom{C}{X}{U}$, l'on a successivement\[\begin{aligned}F(h)\psi(a)_U(u)&=F(h)F(u)(a)=F(hu)(a)\\&=F\left(\hom{C}{X}{h}(u)\right)(a)=\psi(a)_V\left(\hom{C}{X}{h}(u)\right)=\left(\psi(a)_V\hom{C}{X}{h}\right)(u)\end{aligned}\]ce qui fait que $\psi(a)$ est bien un morphisme fonctoriel, avec trivialement\[\Bbb{Y}\left(\psi(a)\right)=\psi(a)_X(1_X)=F(1_X)(a)=1_{FX}(a)=a\]en vertu de $(\bullet)$ et de la fonctorialité de $F$. La surjectivité de $\Bbb{Y}$ est également acquise.

Le théorème est démontré.

$\newcommand{\morph}[3]{#1:#2\to{}#3}\newcommand{\foncteur}[3]{\fonc{#1}:\cat{#2}\to\cat{#3}}\newcommand{\cat}[1]{\mathscr{#1}}\newcommand{\fonc}[1]{\mathbf{#1}}\newcommand{\couple}[2]{\left(#1,\,#2\right)} \newcommand{\image}[2]{{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\compo}[2]{#1\circ{}#2}$Bien entendu, cette intervention s’adresse toujours à celles et ceux qui possèdent le livre de Ibrahim Assem. À ce titre et afin de garder temporairement une cohérence, une uniformité entre les notations de la définition 4.1, page 99 (i.e. la page C&M du livre) d’objet libre au dessus d’un objet $X$ relativement à un foncteur $G$ (ou de solution du problème universel pour $X$ relativement à $G$), et celles de la page 100, il convient de lire ce qui suit au milieu de ladite page :

[L’]objet libre $D_X$, s’il existe, est unique à isomorphisme près. Vu l’importance de la notion, nous présentons néanmoins une preuve élémentaire de ce fait. Soit $\couple{D_X}{i_X}$ et $\couple{D’_X}{i’_X}$ deux objets libres au dessus de $X$ relativement à $G$. Au morphisme $i’_X\in\cat{C}\couple{X}{GD’_X}$ est associé uniquement $u:D_X\to{}D’_X$ tel que $i’_X=\compo{Gu}{i_X}$. [Voici un diagramme mettant en surface la bijection fonctorielle de la définition relativement à $G$ :] \[\xymatrix{ D_X \ar@{.>}[d]^{\exists!\,u\,\in\cat{D}\couple{D_X}{D’_X}} \\ D'_X }\qquad\qquad\xymatrix{ X \ar[r]^{i_X} \ar[rd]_{i'_X} & GD_X \ar@{.>}[d]^{Gu\,\in\cat{C}\couple{GD_X}{GD’_X}} \\ & GD'_X }\] De même, au morphisme $i_X\in\cat{C}\couple{X}{GD_X}$ est associé uniquement $v:D’_X\to{}D_X$ tel que $i_X=\compo{Gv}{i’_X}$. [Là encore, voici un diagramme mettant en surface la bijection fonctorielle relativement à $G$ :] \[\xymatrix{ D’_X \ar@{.>}[d]^{ \exists!\,v\,\in\cat{D}\couple{D’_X}{D_X}} \\ D_X }\qquad\qquad\xymatrix{ X \ar[r]^{i’_X} \ar[rd]_{i_X} & GD’_X \ar@{.>}[d]^{Gv\,\in\cat{C}\couple{GD’_X}{GD_X}} \\ & GD_X }\] On en déduit:\[\compo{\image{G}{vu} }{i_X}=\compo{(\compo{Gv}{Gu})}{i_X}=\compo{Gv}{(\compo{Gu}{i_X})}=\compo{Gv}{i’_X}=i_X=\compo{1_{GD_X}}{i_X}=\compo{\image{G}{1_{DX}}}{i_X}\]Il suit de l'unicité dans la définition que $vu=1_{DX}$. $(\cdots)$

Remarques personnelles :  la première égalité, tout comme la dernière, résulte de la fonctorialité de $G$. Cela ne me gêne nullement de noter $vu$ le composé de $\cat{D}$-morphismes, puis de choisir une autre notation pour désigner le composé de $\cat{C}$-morphismes. Dans l’original, ce qui peut poser problème, c’est de voir un point pour désigner la composition de $\cat{C}$-morphismes et parfois, sans raison apparente, de ne plus le voir.
Cela dit, Ibrahim Assem démontre le théorème 4.3, page 102, qui est, à mon sens, fondamental en théorie des catégories et très beau (comme le théorème de Yoneda). Ne pas oublier son homologue contravariant  à la page 105, reposant sur la définition 4.5.
Enfin, dans son livre Handbook of Categorical Algebra, premier volume, Francis Borceux parle de réflexion (ou symétrie) d’un objet $X$ relativement à (ou par rapport à) un foncteur donné. Je trouve cette dénomination plus expressive.