Triangles inscrits
Bonjour à tous
Rien que pour le plaisir des yeux, voici une vieille animation datant de plus de vingt ans.
Comme elle met en jeu les géométries euclidienne, circulaire et hyperbolique, on devra se contenter de la regarder!
À quoi bon se lancer dans des explications longues et inutiles par les temps qui courent.
Il existe une infinité de triangles $ABC$ inscrits dans le cercle $\Gamma$ et ayant le même point de Lemoine $K$.
Amicalement
pappus
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Réponses
J'ai cherché à reproduire cette animation en faisant simplement tourner les points $A$, $B$ et $C$ sur le cercle, de sorte que le point de Lemoine du triangle $ABC$ reste fixe. Je n'y suis pas arrivé, mais on peut quand même remarquer que si les vitesses de $A$, $B$ et $C$ sont respectivement $1/a^2$, $1/b^2$ et $1/c^2$ (avec $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$, c'est-à-dire qu'on prend les inverses des coordonnées barycentriques du point de Lemoine) alors on obtient d'excellents résultats !
J'obtiens par exemple assez nettement l'ellipse enveloppée par les côtés des triangles :
Y a-t-il des expressions simples des vitesses qui donnent le résultat exact ? On peut toujours rêver mais pourquoi pas.
Amicalement, Ludwig
Je suis arrivé à ceci, avec un peu de mal et par des méthodes tout à fait "déloyales".
Décidément, pappus est passé maître dans l'art de l'animation !
Amicalement.
Une bonne journée, Ludwig
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$\tri A=\left[A,B,C\right]$
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Les transformations $\sigma:M\mapsto M_{s}$ et $\tau:M\mapsto M_{t}$ sont inverses l'une de l'autre. Leurs deux points fixes visibles sont X(15) et X(16).
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Tous les triangles $\tri M$ partagent le même ensemble {X(15), X(16)}.
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Lorsque l'on restreint $M$ au cercle $\left(ABC\right)$, les triangles $\tri M$ partagent le même circonscrit et le même point de Lemoine.
Et maintenant, une occasion de méditer sur le fait que les mathématiques consistent à (1) trouver des résultats (2) trouver des preuves (3) vérifier les preuves. Nous avons les aphorismes:Cordialement, Pierre.
J'avais cette solution sous les yeux dans un pdf de 10 pages sur le "Point de Lemoine" où il était écrit, je cite
Les points isodynamiques sont caractérisés par le fait que leur triangle circumcevien est équilatéral.
La construction de ces points, qui ne dépend que du cercle $(O)$ et de $K$ y était aussi décrite.
Je suis passé à côté. . .
Si j'ai bien compris ta solution, elle nécessite de partir d'un triangle $A_0B_0C_0$, de son cercle circonscrit et de son point de Lemoine.
Si on se donne $K$ intérieur au cercle circonscrit, il me semble qu'elle ne s'applique pas.
Cordialement, Pierre.
Concernant les points isodynamiques.
Retrouvé dans mes notes:
La tangente en A au cercle circonscrit coupe le côté (BC) en P,
la tangente en B coupe (AC) en Q,
la tangente en C coupe (AB) en R.
Ces trois points sont alignés sur la droite de Lemoine du triangle ABC, qui est la polaire du point de Lemoine (K) par rapport à ce cercle circonscrit au triangle.
Les points P, Q, R sont les centres des cercles d'Apollonius du triangle ABC.
L'axe de Brocard du triangle est la droite (OK) passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine. L'axe de Brocard est perpendiculaire à la droite de Lemoine (PQ).
Il contient les centres isodynamiques M et N, points d'intersection des cercles d'Apollonius
Tous ces faits étaient bien connus de nos aïeux!
Personnellement j'ai vécu la période de la géométrie du triangle en allant pas beaucoup plus loin que la droite d'Euler.
Autant te dire que la liste de Kimberling me laisse totalement indifférent.
Il y a quand même des choses beaucoup plus importantes que cette classification à la Prévert à commencer par les fondamentaux de la géométrie elle-même qui ne sont plus enseignés chez nous depuis belle lurette!
Amicalement
pappus
Cordialement, Pierre
Même moi qui n'y connait quasiment rien en géométrie, j'arrive plus ou moins à comprendre ce qu'il faut faire comme calcul avec les affixes de Morley et le passage en coordonnées barycentriques (du moins quand j'y passe suffisamment de temps). J'étais pourtant mal partie, jamais entendu parlé du point de Lemoine comme je ne suis jamais allé au delà de 4/52791 positions de l'Encyclopédie de Kimberling sauf recherche spécifique.
Les calculs ne sont pas bien difficiles, et l'identification des résultats n'est pas bien difficile non plus.
Néanmoins, ce résultat est la clef pour étudier le porisme de Brocard (c'est à dire la famille de triangles $ABC$ inscrits dans un cercle donné et ayant un centre de Lemoine donné), mais aussi pour étudier les cercles de Lucas (tangents entre eux et tangents au circonscrit aux points $A,B,C$).
Et c'est là où l'on voit toute l'utilité de l'Encyclopédie de Kimberling: une fois que l'on a trouvé un résultat partiel, il suffit de lire l'article en question pour bénéficier de l'expérience de la communauté mathématique. Non pas tant sur le traitement de son propre problème, mais pour découvrir tout un lot de connexions inattendues.
Il serait amusant de découvrir encore une autre occasion d'appliquer la description paramétrique \[ \alpha=\dfrac{\rho-k}{k\rho-1}\ptv\beta=\dfrac{J\,\rho-k}{k\,J\rho -1}\ptv\gamma=\dfrac{J^2\,\rho-k}{kJ^{2}\rho-1} \] où le turn $\rho$ est le paramètre principal et $J$ est $\left(-1+i\sqrt{3}\right)/2$.
Cordialement, Pierre.