Restriction d'une application linéaire à un sous-espace affine

Merci pour vos réponses !

john_john a dit :

 $v$ un vecteur

Ne faut-il pas plutôt considérer $v$ comme un point ? 
$A$ est un sous-espace affine de $E$ donc il existe $a \in A$  tel que $\{ \overrightarrow{ax} | x \in A \}$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on le note $\overrightarrow{A}$.
Ainsi $A=\{ x | x \in a \}=\{ a+\overrightarrow{ax} | x \in a \}=a+\overrightarrow{A}$.

Soit $x \in A$, mon problème est que je n'arrive pas à montrer que :
où $\overrightarrow{f_{|A}}=f_{|\overrightarrow{A}}$ est bien linéaire car restriction d'une application linéaire de $E$ à un sous-espace vectoriel de $E$.