Fondations de la théorie de l'intégration

Bibix
Bibix
Modifié (January 2023) dans Fondements et Logique
Bonjour
Des gens très sérieux m'ont donné deux informations sur la théorie de l'intégration que je n'ai jamais réussi à comprendre. Comme je n'arrive pas non plus à trouver des réponses sur le net (mes résultats les plus proches concernent l'axiome de Martin et les résultats qui gravitent autour), je sollicite l'aide du forum.

Voici ces affirmations dans les grandes lignes : 
- "La théorie de l'intégration de Lebesgue n'est pas formalisée ZFC (contrairement à la mesure de Lebesgue)."
- "Pour faire les calculs, on doit forcément passer par l'intégrale de Riemann."

Or je connais deux manières de construire l'intégrale de Lebesgue, et je ne trouve pas où ça bloquerait avec ZFC dans les deux cas. Idem pour la deuxième affirmation, par exemple j'arrive à démontrer le TFA sans utiliser l'intégrale de Riemann...

Est-ce vrai ? Et dans ce cas, où se situerait le problème ?
Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    La première phrase est une énorme ânerie, tout comme la seconde, comme tu as pu t'en rendre compte seul. Peut-être que les affirmations en question concernaient l'existence de parties non mesurables au sens de Lebesgue ? Dans ce cas c'est effectivement quelque chose d'indépendant de $\mathsf{ZF}$ (et pas $\mathsf{ZFC}$ puisqu'il existe de telles parties avec l'axiome du choix), mais on ne dirait pas que de telles parties sont "non formalisées ZFC" comme tu l'écris.
  • Renart
    Renart
    Difficile sans plus d'explication de savoir ce que veulent réellement dire ces phrases. Pour la deuxième il est vrai que l'on utilise souvent des techniques issues de l'intégrale de Riemann pour calculer des intégrales au sens de Lebesgue : changement de variables, IPP, théorème fondamental de l'analyse... Mais puisque l'intégrale de Lebesgue englobe complètement celle de Riemann et la généralise, au fond, qu'est-ce que ça change ? Les théorèmes de changement de variable, IPP ou $(\int f) ' = f$ sont encore des théorème de l'intégrale de Lebesgue, avec les mêmes conditions sur les fonctions que pour l'intégrale de Riemann. Et si c'est bien le sens de cette deuxième phrase on pourrait chipoter encore plus et affirmer que "Pour faire des calculs on doit forcément passer par l'intégrale de Cauchy" puisque les calculs se font le plus souvent dans ce cadre là. De toute façon ces résultats admettent des généralisation au delà du cadre de l'intégrale de Riemann alors...



  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Modifié (January 2023)
    Ben oui, c'est vraiment bizarre comme affirmation... Demande des preuves !
    Je dirais bien qu'on n'a jamais vu de truc mathématique non formalisable dans la théorie des ensembles, mais les catégoriciens et les catégoriciennes et les personnes non-binaires qui font des catégories, et les personnes qui s'identifient tour à tour à un genre et à un autre qui font des catégories me tomberaient dessus au sujet de la catégorie des ensembles, et je n'aurais pas le charisme de Christophe pour leur suggérer de redescendre sur Terre :D
    [Le principe est que lorsque l'on a la place pour écrire, on développe et on évite les raccourcis pointés peu lisibles. AD]
    [Message compris. GA]
  • raoul.S
    raoul.S
    En gras c'est de l'écriture inclusive... ? Ou c'est pour faire de l'humour avec l'écriture inclusive ?
  • Foys
    Foys
    Modifié (January 2023)
    @Georges Abitbol ça dépend essentiellement de si on veut interpréter "la catégorie de tous les groupes" par $P(x):= "x\text{ est un groupe}"$ ou bien par l'ensemble de tous les groupes appartenant à $V_{\alpha}$ où $\alpha$ est un ordinal limite convenable (NB: la totalité des maths non fondamentales a lieu dans $\mathcal P\left ( \mathcal P (\R)\right)$ mais faisons semblant de ne pas être limités par ces viles considérations concrètes B)).
    Les deux prises de positions sont des caprices lorsqu'elles sont autoritaires. Espérons ne pas relancer une guerre de religion :o
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    Modifié (January 2023)
    La théorie des ensembles de Bourbaki (édition de 1970) avec son opérateur de description indéfinie est conservative sur ZFC (Krivine) et permet d'exprimer absolument tout ce qu'on veut de façon très directe; y compris (donc) ces histoires de théorie de la mesure.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Modifié (January 2023)
    @raoul.S : J'ai voulu faire mon rageux parce que je suis parfois en désaccord avec certaines choses que font la modération. Pour la transparence, voici l'histoire : AD a modifié mon message en enlevant une tournure qu'il considère comme un raccourci pour "les catégoriciens et les catégoriciennes" et cela ne m'a pas plu. J'ai ajouté le passage en gras en voulant faire de l'humour, mais maintenant que je me suis calmé, je me dis que je ne suis pas aussi drôle que je l'imagine, quand je suis énervé.
    @Foys : Merci !
  • raoul.S
    raoul.S
    Ah ok, j'ai eu peur que tu étais sérieux... :mrgreen:
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