Découpage du cercle en 6 arcs égaux

Bonjour.
Mon message concerne l'exercice suivant.

On se donne : 
- un cercle de rayon 1,
- $A_0, \ldots , A_6$ points du cercle, obtenus en tournant dans le sens trigonométrique et tels que $A_i A_{i+1} = 1$ pour tout $i$ appartenant à $\{0, \ldots , 5 \}$
Montrer alors que : $A_0 = A_6$

Mon idée a été de remarquer que pour tout entier $i$ compris entre 0 et 5 (compris), le triangle $0A_iA_{i+1}$ est équilatéral.
En particulier, l'angle en $O$ de ce triangle mesure 60 degrés.
Ainsi, le secteur délimité par $O$, $A_i$ et $A_{i+1}$, noté $S_i$ admet une surface égale à un sixième du disque.
D'autre part, les $S_i$ ($i$ appartenant à $\{0, \ldots , 5 \}$) sont deux à deux disjoints. 

Ainsi : 
- si $A_0$ est, en tournant dans le sens trigonométrique, "avant" $A_6$, alors cela contredit que $S_0$ et $S_5$ sont disjoints. 
- si $A_0$ est, en tournant dans le sens trigonométrique, "après" $A_6$, alors cela contredit que le disque est la réunion des $S_i$.
Donc nécessairement, $A_0$ et $A_6$ sont confondus.

Est-ce recevable : qu'en pensez-vous ?
Quand bien même ce serait le cas, n'y aurait-il pas un autre argument (reposant sur la trigonométrie) permettant de conclure d'une manière plus convaincante ?
Je vous remercie.