Temps d'arrêt et maximum

Bonjour !

On considère $(X_i)_{i\in\mathbb{N}}$ une suite de variable aléatoire iid et positive ainsi que sa filtration naturelle associée $(\mathcal{F}_i)_{i\in\mathbb{N}}$. Je m'intéresse à cet évènement $N(t)(\omega) = \max\{ n \mid \sum_{i=1}^{n}X_i(\omega) \leq t\}$ et j'aimerais montrer que $N(t) + 1$ est un temps d'arrêt.

Voici ma tentative.
Soit $k\in\mathbb{N}$, on a \begin{align*}
\{\omega\in\Omega \mid N(t)(\omega) + 1 = k\} &= \{\omega\in\Omega \mid N(t)(\omega) = k - 1\} = \big\{\omega\in\Omega \mid \max\{ n \mid \sum_{i=1}^{n}X_i(\omega) \leq t\}= k - 1\big\}\\
&=\bigcup_{n=1}^{ k-1}\{\omega\in\Omega \mid \sum_{i=1}^{n}X_i(\omega)\leq t\}\cap\{\omega\in\Omega \mid \sum_{i=1}^{k}X_i(\omega)> t\}\in\mathcal{F}_k
\end{align*}
Ceci montre que $N(t) + 1$ est un temps d'arrêt. Est-ce correct, et voyez-vous d'autres manières de le montrer assez jolies ?
Merci !