C*-algèbres contractibles

Bonjour
Dans les livres sur la K-théorie des C*-algèbres, on trouve la définition suivante : étant donnés des C*-algèbres $A,B$ (non nécessairement unifères), et des morphismes de C*-algèbres $f,g:A\to B$, une homotopie de $f$ vers $g$ est une famille $(h_t)_{t\in[0,1]}$ de morphismes de C*-algèbres $A\to B$ tels que $h_0=f$, $h_1=g$ et $t\mapsto h_t(a)\in B$ est continue pour tout $a\in A$. La notion d'équivalence d'homotopie entre C*-algèbres est ensuite définie par analogie avec la situation classique. Jusque là, aucun problème, et d'ailleurs on voit facilement que si $X$, $Y$ sont des espaces compacts qui sont homotopiquement équivalents, alors $C(X)$ et $C(Y)$ le sont en tant que C*-algèbres, ce qui nous fait dire que c'est bien cette définition qui généralise la notion classique d'homotopie au cadre non commutatif.

On trouve également la définition suivante : une C*-algèbre $A$ est dite contractible si l'identité de $A$ est homotope au morphisme nul, au sens de la définition précédente. On s'attend à ce que cette définition permette de dire au moins que $C(X)$ est contractible dès que $X$ est un espace compact contractile. Or, il se trouve que $\mathbb{C}=C(\{\ast\})$ n'est même pas contractible en tant que C*-algèbre ! Par contre, $C_0(]0,1],A)$ est bien contractible pour toute C*-algèbre $A$ ! 

Cela m'a d'autant plus perturbé que dans le livre 'K-theory and C*-algebras : A Friendly Approach' de Niels Erik Wegge-Olsen, l'auteur semble penser (sans le justifier), par analogie avec le cas classique, que : $A$ contractible équivaut à ce que $A$ et $\mathbb{C}$ sont homotopiquement équivalentes en tant que C*-algèbres, ce qui ne peut être que faux (car $\mathbb{C}$ n'est pas une C*-algèbre contractible).

Bref, cette définition de C*-algèbre contractible me semble vraiment obscure. Si des amateurs de K-théorie passent par là, j'aimerais bien recueillir leurs avis là dessus.