Espérance de $X^2$

jp nl · January 2023

Bonjour
Voilà un exercice sur lequel j'ai quelques questions.

Pour une var $X$ à valeurs dans $\N$, montrer : $$E(X^2)=\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+1)P(X>n).$$
Je dois avouer que je suis plus familier des sommes finies que des séries.
En écrivant $P(X>n)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}P(X=k)$, et en inversant les sommations, j'ai trouvé le résultat voulu.

Les questions :
dans ce contexte de sommes infinies, à quelle condition l'inversion des sommations est-elle valide ?
et aussi :
mais il existe des var telles que $E(X^2)$ n'existe pas. Cet énoncé me paraît incomplet. Quelle hypothèse ajouter (juste : $E(X^2)$ existe ?)

Merci de vos coups de pouce.
Jp

LOU16 · January 2023

Bonjour,

L'existence de $\mathbb E(X^2)$ est bien entendu requise. Dans ces conditions:

$\mathbb E(X^2)=\displaystyle \lim_{N\to+\infty} S_N,\: $où $\: S_N=\displaystyle \sum_{n=1}^{N}n^2\mathbb P(X=n)=\sum_{n=1}^{N}n^2\left(\mathbb P(X>n-1)-\mathbb P(X>n)\right).$

$S_N=\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}(n+1)^2\mathbb P(X>n)-\sum_{n=1}^Nn^2\mathbb P(X>n)=\left(\sum_{n=0}^{N-1}(2n+1)\mathbb P(X>n) \right)-N^2\mathbb P(X>N)$

L'existence de $\mathbb E(X^2)$ et la majoration $N^2\mathbb P(X>N)\leqslant \displaystyle \sum_{n=N+1}^{+\infty} n^2\mathbb P(X=n)\:$ font que $\displaystyle\lim_{N\to +\infty} N^2\mathbb P(X>N)=0.$

Il s'ensuit que: $\quad \mathbb E(X^2)=\displaystyle \lim_{N\to+\infty} S_N=\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+1)\mathbb P(X>n) .$

jp nl · January 2023

Très clair. Merci beaucoup, Lou !

Calli · January 2023

Bonjour @jp nl,
Ton interversion de sommes est légale ici car tout les termes sont positifs. Quand tout est positif, on a le droit d'intervertir tous les $\sum$ et de changer l'ordre de toutes les sommes. On obtient alors des égalités dans $[0,+\infty]$, c'est-à-dire que soit tous les membres de nos égalités sont des séries convergentes, soit se sont tous des séries divergeant vers $+\infty$. En l'occurence, l'hypothèse $\Bbb E[X^2]<\infty$ assure qu'on est dans le premier cas.

JLapin · January 2023

[Je n'avais pas lu attentivement le premier message. Je n'ai rien à rajouter à ce qui est dit plus haut.]

jp nl · January 2023

Merci Calli.

Espérance de $X^2$

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