Suite de champs gaussiens et suite de fonctions de corrélations

Bonjour
Si vous cherchez à établir que pour tout $x\in\mathbb R^2$ fixé, $\left(X_n(x)\right)_{n\geqslant 1}$ converge, alors la convergence de $(K_n(x,x,))$ suffit par le résultat mentionné par Fulgrim.

Si on veut établir la convergence de la suite de vecteurs $\left(X_n(x_1),\dots,X_n(x_d)\right)_{n\geqslant 1}$, il faut supposer que pour tous $1\leqslant i,\ j\leqslant d$, $(K_n(x_i,x_j))_n$ converge. On peut alors appliquer Cramer-Wold et étudier la convergence des combinaisons linéaires des coordonnées. Une telle combinaison est gaussienne centrée et sa variance s'exprime à l'aide des coefficients et $K_n(x_i,x_j)$, $1\leqslant i,j\leqslant d$.