cos(nx) et sin(nx)
Bonjour à tous
Avec des polynômes à deux variables, si on pose:
$\cos(nx)=P_{n}(\cos(x), \sin(x))$
$\sin(nx)=Q_{n}(\cos(x), \sin(x))$
Quelles sont les propriétés de ces polynômes $P_{n}$,$Q_{n}$? Avec la formule de Moivre, on peut obtenir des expressions de $P_{n}$ et $Q_{n}$. Mais que dire d'autre sur ces polynômes? Ces polynômes sont-ils bien connus ?
Merci d'avance pour toute réponse!
Avec des polynômes à deux variables, si on pose:
$\cos(nx)=P_{n}(\cos(x), \sin(x))$
$\sin(nx)=Q_{n}(\cos(x), \sin(x))$
Quelles sont les propriétés de ces polynômes $P_{n}$,$Q_{n}$? Avec la formule de Moivre, on peut obtenir des expressions de $P_{n}$ et $Q_{n}$. Mais que dire d'autre sur ces polynômes? Ces polynômes sont-ils bien connus ?
Merci d'avance pour toute réponse!
Réponses
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Tu parles de quel livre ?Ou bien tu t'es trompé de forum ?
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Bonsoir gerard0,
Je chercherais un article sur le sujet si possible? Ou un exercice?
Je n’ai jamais entendu parler de ces polynômes.
Merci pour votre réponse.
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Déjà sur wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Tchebychev
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O.J, merci beaucoup, l'article est très complet (j'ai étudié les polynômes de Tchebychev mais pas de manière aussi complète). Je vais y jeter un œil.
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Au passage, la question est mal spécifiée dans la mesure où il existe plusieurs polynômes $P_n$ et $Q_n$ répondant à la question, compte tenu que $\cos^2+\sin^2=1$. Les polynômes de Tchebychev correspondent au cas où $\cos nx=P_n(\cos x)$ ne dépend pas de la deuxième variable de $P_n$ et $\sin nx=\sin x\widetilde Q_n(\cos x)$, i.e. $Q_n(X,Y)=Y\widetilde Q_n(X)$, où $\widetilde Q_n$ ne dépend pas de la deuxième variable non plus.
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Oui merci Math Coss, j'ai compris avec la réponse d'O.J que Tchebychev avait introduit des polynômes à une seule variable. Tchebychev a habilement esquivé la difficulté en introduisant un seul polynôme à une seule variable. Je me demande quand même si les polynômes à plusieurs variables correspondants sont si inintéressants que ça....
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Les autres sont, me semble-t-il, $P_n(x)+(x^2+y^2-1)S(x,y)$ et $y\tilde Q_n(x)+(x^2+y^2-1)T(x,y)$ avec $S$ et $T$ quelconques.
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