Égalité dite de Bougerol

Bonsoir et bonne année 2023 à tous. Mystérieux et complice hasard, fais donc que les aléas de la vie nous entraînent vers les rives de la vérité plutôt que nous précipitent dans l'abîme de la violence...

Pour démarrer cette nouvelle année, je serais intéressé par un éclaircissement sur l'exercice de calcul stochastique suivant. La question 3 admet l'écriture de la martingale $M$ comme une intégrale par rapport à un brownien afin de conclure à l'égalité en loi de $X$ et $Z$.
Mes quelques investigations ne m'ont pas permis de conclure sur l'existence d'une telle expression, mais votre sagacité saura sans doute trouver des voies qui me sont inconnues. 
Par ailleurs, je serais curieux de voir s'il est possible d'obtenir ce résultat par une autre approche. Je vous serais donc plus que redevable de toute tentative! 

En vous remerciant d'avance de vos propositions