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Bonjour, j'aimerais savoir si ma rédaction pour la question 2 est correcte. Certainement qu'on peut faire plus simple , mais je l'ignore.
$T_{y}=T_{y}. \mathbb{1}_{X_{1}=y} + \sum_{z \neq y} (\mathbb{1}_{X_{1}=z}.T_{y})$
or $T_{y}= 1+ \inf \{n \geq 0, X_{n+1}=y \}$ où en posant $T^{*}_{y}= \inf \{n \geq 0, X_{n}=y \}$ , on obtient $\inf \{n \geq 0, X_{n+1}=y \}=T^{*}_{y}(\Theta_{1}(X)$ avec $\Theta_{1}$ l'opérateur de décalage de $1$.
Ainsi $T_{y}=T_{y}. \mathbb{1}_{X_{1}=y}+ \sum_{z \neq y} .\mathbb{1}_{X_{1}=z} .(1+T^{*}_{y}(\Theta_{1}(X))$ .
On a finalement $T_{y}=1+\sum_{z \neq y}. \mathbb{1}_{X_{1}=z} . (T^{*}_{y}(\Theta_{1}(X))$.
$\mathbb{E}_{x}(T_{y})=\mathbb{E}_{x}(1+\sum_{z \neq y} . \mathbb{1}_{X_{1}=z} .(T^{*}_{y}(\Theta_{1}(X)))$.
En conditionnant par rapport à la tribu $F_{1}$, on obtient $\mathbb{E}_{x}(T_{y})=\mathbb{E}_{x}(\mathbb{E}_{x}(1+\sum_{z \neq y}. \mathbb{1}_{X_{1}=z}. (T^{*}_{y}(\Theta_{1}(X)) | F_{1}))$ , l'indicatrice est une fonction $F_{1}$-mesurable.
$\mathbb{E}_{x}(\mathbb{1}_{X_{1}=z}. (T^{*}_{y}(\Theta_{1}(X)) | F_{1})))= \mathbb{1}_{X_{1}=z}.\mathbb{E}_{x}(T^{*}_{y}(\Theta_{1}(X)) | F_{1})))=\mathbb{1}_{X_{1}=z}. \mathbb{E}_{X_{1}} (T^{*}_{y}(X))=\mathbb{1}_{X_{1}=z}. \mathbb{E}_{z}(T_{y})$ par propriété de Markov faible et sur ${X_{1}=z}$ , on a $T^{*}_{y}=T_{y}$ (c'est surtout ici que je doute juste de mon argument, je n'arrive pas à bien justifier mon idée).
Alors on obtient finalement que $\mathbb{E}_{x}(T_{y})=1+\sum_{z \neq y}p(x,z).t_{zy}$.
Merci d'avance pour votre compréhension.
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Réponses
Je me dis que sur l'événement $X_{1}=1$, on a $T_{y}=1$ donc la somme vaut $1$ Sinon on a l'indicatrice portant sur $X_{1}=1$ qui est nulle et donc dans la somme sur les indicatrices dont $1$
Dans le corrigé , il n'y a pas de $T_{y}$ sur l'indicatrice portant sur l'événement $X_{1}=y$. Pourquoi svp?