Tribu et applications mesurables

Bonjour
J'ai quelques soucis avec la théorie de la mesure et en particulier avec l'exercice suivant où je suis bloqué dès la première question.

Soient $f:(\Omega_1, \mathcal{F}_1) \to (\Omega_2, \mathcal{F}_2)$ une application. On suppose $\mathcal{F}_2=\sigma(\mathcal{C})$ pour une certaine famille $\mathcal{C} \subset P(\Omega_2)$. De plus, et pour tout $C \in \mathcal{C}$ on a $f^{-1}(C) \in \mathcal{F}_1$.
1) Montrer que la famille $\mathcal{T} := \{B \subset \Omega_2 : f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})) \} $ est une tribu sur $\Omega_2$
2) Montrer que $\mathcal{F}_2 \subset \mathcal{T}$
3) Montrer $\sigma(f) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C}))$
4) En déduire que f est mesurable entre les espaces $(\Omega_1, \mathcal{F}_1) $ et $ (\Omega_2, \mathcal{F}_2)$.
5) Montrer qu'une fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ croissante est borélienne. On pourra considérer la famille $\mathcal{C}:= \{]-\infty, a] : a \in \mathbb{R} \}$

Ce que j'ai tenté.
1) Si j'ai à peu près compris, je dois montrer que $\Omega_2 \in \mathcal{T}$, qu'il est stable par l'union et le complémentaire, mais là j'avoue ne pas savoir par quel bout prendre $\mathcal{T}$
Pour les autres questions c'est la panne sèche complète...
Merci pour votre aide.