48+1=7^2 et 48/2+1=5^2

Bonjour, un problème vu dans un livre : 48+1=7^2 et 48/2+1=5^2
il s'agit du plus petit nombre qui si on lui ajoute 1 est un carré et si on le coupe en deux et qu'on lui ajoute 1, c'est aussi un carré. La question est : quel est le deuxième plus petit nombre vérifiant cette propriété. Par test, on obtient 1680 -> 1681=41^2 et 841=29^2

Quelqu'un aurait une méthode pour résoudre ce problème autrement que par test, est-il possible de trouver un moyen de générer toutes les solutions par une formule ? Ainsi, je pourrais rapidement obtenir la 15ème plus petite valeur par exemple.

L'équation étant n+1=k^2 et n/2+1=q^2, par différence ça implique n/2=k^2-q^2 -> n=2(k-q)(k+q) ; à suivre...
autres relation : n=(k-1)(k+1)
autres relation : k^2=2q^2-1

Bien à tous.