Non existence d'un supplémentaire topologique

Usuel · December 2022

Bonjour, en réfléchissant à un exercice il m'est apparu que son énoncé était équivalent au fait que C^0([0,1],R) n'admet pas de supplémentaire topologique dans B([0,1],R).

Je réfléchis donc à cette question mais les quelques pistes que j'ai ne semblent pas aboutir.

(On connaît la forme de la décomposition d'une fonction bornée en une partie continue et une autre partie qui conserve toutes les discontinuités mais cela n'impose a priori quasi aucune autre condition : par exemple si on considère par l'absurde un projecteur continu sur C^0([0,1],R) je n'arrive pas du tout à savoir à quoi ressemble la projection d'une fonction ayant ne serait-ce qu'un saut de discontinuité comme la fonction qui vaut 1 sur [0,1[ et 0 en 1)

Cette impossibilité à trouver des informations sur la projection semble rendre difficile une absurdité à base de suite de fonctions bornées ayant un nombre fini de discontinuités qui converge vers une fonction bornée ayant un nombre infini de discontinuités vis-à-vis de la projection.

Par ailleurs j'imagine qu'il y a moyen de répondre facilement avec des théorèmes plus ou moins fort sur les duals topologiques (en parlant de réflexivité etc) de C^0([0,1],R) et de B([0,1],R) ou des arguments du genre mais j'aimerais bien une réponse élémentaire si possible (avec les outils d'analyse fonctionnelle les plus sommaires possibles).

Voilà, si vous avez des idées n'hésitez pas à les partager.

Usuel · December 2022

J'imagine qu'il y a une façon de résoudre le problème en explicitant un tel opérateur linéaire avec des intégrales de Radon (mais je n'ai que peu de connaissances sur le sujet) mais je me demande si on peut tirer les mêmes informations sur la forme de notre opérateur sans utiliser des outils avancés.

(Je poste aussi ce message pour essayer de lancer la discussion)

Poirot · December 2022

Si tu veux recevoir de l'aide, la première chose à faire est de poser clairement ta question, parce que là c'est vraiment confus.

Si je comprends bien, tu veux montrer qu'il n'existe pas de sous-espace fermé $F$ de $\mathcal B([0, 1], \mathbb R)$, muni de la norme uniforme, tel que $\mathcal B([0, 1], \mathbb R) = \mathcal C([0, 1], \mathbb R) \oplus F$ ?

Je n'ai pas trouvé de solution élémentaire. Toutes les réponses trouvées sur internet utilisent le fait que $\mathcal B([0, 1], \mathbb R) = \ell^{\infty}([0, 1], m)$ où $m$ est la mesure de comptage, est injectif dans la catégorie des espaces de Banach, c'est-à-dire que si $A \subset B$ sont des Banach et $T : A \to \ell^{\infty}([0, 1], m)$ est un opérateur, alors $T$ se prolonge en un opérateur $\tilde T : B \to \ell^{\infty}([0, 1], m)$ de même norme. C'est un fait non trivial que tout espace $L^{\infty}$ est injectif, je ne sais pas s'il y en a une démonstration élémentaire dans ce cas. Si $\mathcal C([0, 1], \mathbb R)$ était complémenté dans $\mathcal B([0, 1], \mathbb R)$ alors $\mathcal C([0, 1], \mathbb R)$ serait lui-même injectif, ce qui n'est pas possible car il est séparable, ce qu'aucun Banach injectif n'est.

Voir cette question MSE.

Usuel · December 2022

Bonjour, oui malgré mon manque de clarté (je m'en excuse) la question a bien été comprise.

Je ne connaissais pas en effet la notion d'espace de Banach injectif mais il me paraît non trivial de montrer que B([0,1],R) est injectif (ni totalement évident que tout espace de Banach injectif contient une copie de l^inf, après je n'y ai sûrement pas réfléchi assez longtemps pour l'instant). Néanmoins la réponse a le mérite d'être claire.

L'exercice en question est censé être à la portée d'un spé (L2) donc on devrait pouvoir se passer d'outils aussi avancés. Après c'est peut être moi qui ai compliqué la chose en reformulant le problème de la sorte, mais vu que je n'arrivais pas à grand chose «à la main» et que la question de départ est équivalente à celle-ci je me suis dit qu'on disposait de plus d'outils pour répondre sous cette forme.

L'énoncé original: Montrer qu'il n'existe pas d'opérateur linéaire continu de (B([0,1],R),||.||inf) vers (C([0,1],R),||.||inf) qui coïncide avec l'identité sur C([0,1],R).

PS: Merci quand-même pour la réponse

Usuel · December 2022

Après réflexion, le point qui ne me paraît toujours pas clair est le fait que tout espace de Banach de dimension infinie injectif possède une copie de l^inf(X) pour un X infini.

Pour l'autre point, il me semble avoir trouvé quelque chose de relativement direct: si A \subset B sont deux Banach T:A->B([0,1],R) est continu, on considère pour x€[0,1], T_x:A->R la composée de T avec l'évaluation en x, alors par Hahn-Banach, les T_x se prolongent en U_x:B->R continues de même norme et U:B->B([0,1],R) b|->(x|->U_x(b)) est bien à valeurs dans B([0,1],R) car la norme de U_x est celle de T_x, sa restriction à A est T et enfin U est continue car sa norme est celle de T toujours pour la même raison.

Par contre ça utilise l'AC et c'est pas trop niveau spé mais on avance déjà

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Non existence d'un supplémentaire topologique

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