Variables d’intérêt

LeVioloniste · December 2022

Voici un exo, je trouve une question mal posée.

1a. Partons de $\sum_{i=1}^{i=n} (w_i-1)^2 $. $\sum_{i=1}^{i=n} Yî ^2 $ et avec l'inégalité de Cauchy-Schwartz,
$\sum_{i=1}^{i=n} (w_i-1)^2 . \sum_{i=1}^{i=n} Yî ^2 \geq (\sum_{i=1}^{i=n} (w_i-1).Y_i)^2 = \sum_{i=1}^{i=n} (w_i.Y_i-Y_i)^2 = (\sum_{i=1}^{i=n} \epsilon_i)^2 = T_\epsilon^2$

1b. Si on veut minimiser $\sum_{i=1}^{i=n} (w_i-1)^2$ on a envie de proposer $\forall i \in \mathbb{N}_n$, $w_i=1$. Mais cela est interdit, enfin on le devine car on veut que $w_i$ s'approche de 1, sans être égal.

Du coup :
soit on est dans le cas d'égalité de Cauchy-Schwartz, et $(Y_i,w_i-1)$ est liée.
Donc $\forall i \in \mathbb{N}_n$, $w_i^*=1+\lambda.Y_i=1+\lambda.(x_i+\epsilon_i)$.
Puis en réinjectant dans une équation, il faudrait trouver $\lambda$ fonction de $n$ nécessaire pour la question suivante de convergence ...

Où alors :
on maximise $\sum_{i=1}^{i=n} Yî ^2 = \sum_{i=1}^{i=n} (x_i+\epsilon_i)^2 $ et on différencie par rapport à $x_i$.
On trouve $\psi(x_1,...x_n)=\sum_{i=1}^{i=n} (x_i+\epsilon_i)^2 $ puis $\frac{d \psi}{x_i}=2x_i+2\epsilon_i=0$.
Ce qui me semble ridicule.

Une idée ?

YvesM · December 2022

Bonjour,

Ta première idée est la bonne : cas d'égalité de l'inégalité (les vecteurs sont colinéaires). Et pour trouver le $\lambda$ on écrit $\omega^*_i-1 = \lambda Y_i, (i=1,...,n)$, on élève au carré, on somme sur $i$ de $1$ à $n$ et on utilise l'égalité du 1a. On substitue $Y_i=x_i+\epsilon_i, (i=1,...,n)$ pour terminer.

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