Séparabilité de $\mathcal C(X,\C)$

Bizarre cette notation, pourquoi ne pas l'appeler $\mathcal C(X, \mathbb C)$ ? Bref. $\mathbb C$ c'est $\mathbb R^2$, toute fonction $f$ à valeurs dans $\mathbb C$ s'écrit $u + i v$ avec $u, v \in \mathcal C(X, \mathbb R)$. La séparabilité de $\mathcal C(X, \mathbb C)$ s'en déduit alors de celle de $\mathcal C(X, \mathbb R)$ puisque si $\{f_n \mid n \in \mathbb N\}$ est une famille dénombrable dense dans $\mathcal C(X, \mathbb R)$, alors $\{f_n + i f_m \mid n, m \in \mathbb N\}$ est une famille dénombrable dense dans $\mathcal C(X, \mathbb C)$.

Blanc a dit :

Par ailleurs J'aimerais savoir pourquoi la notion d'homéomorphisme permet  par transport de structure de conserver toutes les propriétés topologiques car il m'est difficile de cerner la notion de propriété topologique. Cela semble moins évident qu'en algèbre avec la notion d'isomorphisme.

En algèbre un isomorphisme va préserver ce qui définit la structure de ton groupe, anneau, etc. donc les opérations (addition, multiplication etc.).

En topologie un homéomorphisme va préserver ce qui fait la structure d'un espace topologique, c'est-à-dire l'ensemble de ses ouverts avec ses opérations union et intersection. Par suite si tu as deux espaces topologiques $(X,\mathcal{T}_X)$ et $(Y,\mathcal{T}_Y)$ et un homéomorphisme $\phi : X\to Y$ alors $\phi$ induit une bijection entre ouverts de $X$ et ouverts de $Y$ via l'application $\mathcal{T}_X\to \mathcal{T}_Y, O\mapsto \phi(O)$.

De plus les opérations sont aussi préservées : pour toute famille d'ouverts $(O_i)$, $\phi(\bigcup_I O_i)=\bigcup_I \phi(O_i)$ et $\phi(O_1\cap O_2)=\phi(O_1)\cap \phi(O_2)$.

Tout ceci fait que tu peux considérer $(Y,\mathcal{T}_Y)$ comme étant l'espace $(X,\mathcal{T}_X)$ dans lequel on a renommé les éléments, bref c'est "le même espace".

Le sens de dénombrable dépend des auteurs, mais dans tous les cas, il est clair qu'il n'y a pas de partie dense finie dans de tels espaces. Exercice : Montrer qu'un espace topologique séparé admet une partie finie dense si et seulement si l'espace en question est fini.